已知函数f（x）满足f（logax）=（x-x-1），其中a＞0，a≠1（1）对于函数f（x），当x∈（-1，1）时，f（1-m）+f（1-m2）＜0，求实数m的集合；（2）当x∈（-∞，2）时，f（x-4）的值恒为负数，求a的取值范围．试题及答案-单选题-云返教育

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已知函数f（x）满足f（log_ax）=

（x-x^-1），其中a＞0，a≠1
（1）对于函数f（x），当x∈（-1，1）时，f（1-m）+f（1-m²）＜0，求实数m的集合；
（2）当x∈（-∞，2）时，f（x-4）的值恒为负数，求a的取值范围．

见解析

（1）根据题意，令log_ax=t，则x=a^t，
所以

，即

当a＞1时，因为a^x-a^-x为增函数，且

＞0，所以f（x）在（-1，1）上为增函数；
当0＜a＜1时，因为a^x-a^-x为减函数，且

＜0，所以f（x）在（-1，1）上为增函数；
综上所述，f（x）在（-1，1）上为增函数．
又因为f（-x）=

=-f（x），故f（x）为奇函数．
所以f（1-m）+f（1-m²）＜0?f（1-m）＜-f（1-m²）?f（1-m）＜f（m²-1）
由f（x）在（-1，1）上为增函数，可得

解得1＜m＜

，即m的值的集合为{m|1＜m＜

}
（2）由（1）可知，f（x）为增函数，
则要使x∈（-∞，2），f（x）-4的值恒为负数，
只要f（2）-4＜0即可，即f（2）=

＜4，又a＞0
解得

又a≠1，可得符合条件的a的取值范围是（2-

，1）∪（1，2+

）．

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