已知函数f（x）=(2n-n2)x2n2-n，(n∈N*)在（0，+∞）是增函数．（1）求f（x）的解析式；（2）设g（x）=f2(x)+m2f(x)(m＞0)，试判断g（x）在（0，+∞）上的单调性，并加以证明．试题及答案-单选题-云返教育

试题详情

已知函数f（x）=(2n-n²)x^2n²-n，(n∈N^*)在（0，+∞）是增函数．
（1）求f（x）的解析式；
（2）设g（x）=

f²(x)+m²

f(x)

(m＞0)，试判断g（x）在（0，+∞）上的单调性，并加以证明．

见解析

解：由题意（1）

{	2n-n²＞0 2n²-n＞0

或

{	2n-n²＜0 2n²-n＜0

＜n＜2或?；
∵n∈N^*∴n=1?f（x）=x；
（2）g(x)=

x²+m²

=x+

m²

设0＜x₁＜x₂，则g(x₁)-g(x₂)=…=

x₁-x₂

x₁x₂

(x₁x₂-m²)；
若0＜x₁＜x₂≤m，则x₁x₂＜m²；若m≤x₁＜x₂，则x₁x₂＞m²；而x₁x₂＞0，x₁-x₂＜0
当0＜x₁＜x₂≤m时，g（x₁）＞g（x₂）；当m≤x₁＜x₂时，g（x₁）＜g（x₂）
因此，g（x）在（0，m]上单调递减；g（x）在[m，+∞）上单调递增；

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