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  • 函数y=f（x）的图象关于点（a，b）对称的充要条件是f（a-x）+f（a+x）=2b（或f（x）+f（2a-x）=2b．如果函数y=f（x）的图象关于点（a，b）对称，则称（a，b）为“中心点”，称函数y=f（x）为“中心函数”．①已知f（x）是定义在R上的增函数，点（1，0）为函数y=f（x-1）的“中心点”，若不等式f（m2-5m+21）+f（m2-8m）＜0恒成立，则3＜m＜3.5．②若函数y=f（x）为R上的“中心函数”，则y=1f(x)为R上的“中心函数”．③函数y=f（x）在R上的中心点为（a，f（a）），则F（x）=f（x+a）-f（a）为R上的奇函数．④已知函数f（x）=2x-cosx为“中心函数”，数列{an}是公差为π8的等差数列．若7Σn=1f（an）=7π，则[f(a4)]a1a7=645．其中你认为是正确的所有命题的序号是 ．试题及答案-单选题-云返教育

      • 试题详情

      函数y=f（x）的图象关于点（a，b）对称的充要条件是f（a-x）+f（a+x）=2b（或f（x）+f（2a-x）=2b．如果函数y=f（x）的图象关于点（a，b）对称，则称（a，b）为“中心点”，称函数y=f（x）为“中心函数”．
      ①已知f（x）是定义在R上的增函数，点（1，0）为函数y=f（x-1）的“中心点”，若不等式f（m      2-5m+21）+f（m2-8m）＜0恒成立，则3＜m＜3.5．
      ②若函数y=f（x）为R上的“中心函数”，则y=
      1
      f(x)
      为R上的“中心函数”．
      ③函数y=f（x）在R上的中心点为（a，f（a）），则F（x）=f（x+a）-f（a）为R上的奇函数．
      ④已知函数f（x）=2x-cosx为“中心函数”，数列{a      n}是公差为
      π
      8
      的等差数列．若7Σn=1f（an）=7π，则
      [f(a4)]
      a1a7
      =
      64
      5
      ．
      其中你认为是正确的所有命题的序号是                ．

      试题解答

      ①③
      解：①函数y=f（x）的图象由函数y=f（x-1）向左平移1个单位获得，且点（1，0）为函数y=f（x-1）的“中心点”，
      ∴（0，0）点为函数y=f（x）的中心点，即关于原点对称，
      ∴函数y=f（x）为奇函数，
      ∵f（m      2-5m+21）+f（m2-8m）＜0
      ∴f（m      2-5m+21）＜-f（m2-8m）
      ∴f（m      2-5m+21）＜f（-m2+8m）
      ∵f（x）是定义在R上的增函数，
      ∴m      2-5m+21＜-m2+8m，即2m2-13m+21＜0，求得3＜m＜3.5
      ∴命题①正确．
      ②假设命题成立，设函数y=f（x）的对称点为（a，b），则
      1
      f(a-x)
      +
      1
      f(a+x)
      =
      f(a-x)+f(a+x)
      f(a-x)?f(a+x)
      =
      2b
      f(a-x)?f(a+x)
      =2b不恒成立，
      故假设不成立，命题②不正确．
      ③∵函数y=f（x）在R上的中心点为（a，f（a）），
      ∴f（a-x）+f（a+x）=2f（a）
      ∴f（a-x）=2f（a）-f（a+x）
      ∴F（-x）=f（-x+a）-f（a）=2f（a）-f（a+x）-f（a）=-（f（x+a）-f（a））=-F（x）
      ∴F（x）=f（x+a）-f（a）为R上的奇函数．
      命题③正确．
      ④∵      7Σn=1f（an）=7π，数列{an}是公差为
      π
      8
      的等差数列
      ∴f（a      7）=2（a1+a2+a3+a4+a5+a6+a7）-（cosa1+cosa2+cosa3+cosa4+cosa5+cosa6+cosa7）
      =14a      4-[cos（a4-
      3π
      8
      ）+cos（a4+
      3π
      8
      ）+cosa2+cosa3+cosa4+cosa5+cosa6]
      =14a      4-[2cosa4cos
      3π
      4
      +cosa2+cosa3+cosa4+cosa5+cosa6]
      =14a      4+（3
      √2
      +1）cosa4=7π
      ∴a      4=
      π
      2

      ∴f（a      4）=π，a1=
      π
      2
      -
      3π
      8
      =
      π
      8
      ，a7=
      π
      2
      +
      7π
      8
      =
      3π
      8
      ，
      ∴则
      [f(a4)]
      a1a7
      =
      π
      π
      8
      ×
      7π
      8
      =
      56
      7π
      ≠
      64
      5
      ．
      ∴命题④不成立．
      故正确的命题为①③
      故答案为：①③．
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