已知函数f（x）=kax-a-x（a＞0且a≠1）是奇函数，且f（1）＞0．（Ⅰ）求实数k的值；（Ⅱ）判断函数f（x）的单调性，并用函数单调性的定义加以证明；（Ⅲ）求不等式f（x2+2x）+f（x-4）＞0的解．试题及答案-单选题-云返教育

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已知函数f（x）=ka^x-a^-x（a＞0且a≠1）是奇函数，且f（1）＞0．
（Ⅰ）求实数k的值；
（Ⅱ）判断函数f（x）的单调性，并用函数单调性的定义加以证明；
（Ⅲ）求不等式f（x²+2x）+f（x-4）＞0的解．

试题解答

见解析

解：（Ⅰ）∵f（x）是定义域为R的奇函数，
∴f（0）=0，即k-1=0，解得k=1．
经检验k=1符合题意．
（Ⅱ）∵f（x）=a^x-a^-x，f（1）＞0，
∴f（1）=a-

＞0，
∵a＞0且a≠1，∴解得a＞1，
则函数f（x）在R上单调递增．
用定义证明（x）在R上单调递增．
设x₁，x₂是R上的任意两个实数，且x₁＜x₂，
则f(x₁)-f(x₂)=a^x₁-a^-x₁-a^x₂+a^-x₂=a^x₁-a^x₂+

a^x₂

a^x₁

=a^x₁-a^x₂+

a^x₁-a^x₂

a^x₂a^x₁

=(a^x₁-a^x₂)(1+

a^x₂a^x₁

)，
∵a＞1，∴函数y=a^x为增函数，
∴当x₁＜x₂时，0＜a^x₁＜a^x₂，即a^x₁-a^x₂＜0，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂），
∴函数f（x）在R上单调递增．
（Ⅲ）∵f（x）是定义域为R的奇函数，
∴不等式f（x²+2x）+f（x-4）＞0等价为f（x²+2x）＞-f（x-4）=f（4-x），
又∵f（x）在R上单调递增．
∴x²+2x＞4-x，即x²+3x-4＞0，
解得x＞1或 x＜-4．
即不等式的解集为{x|x＞1或 x＜-4}．

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已知函数f（x）=kax-a-x（a＞0且a≠1）是奇函数，且f（1）＞0．（Ⅰ）求实数k的值；（Ⅱ）判断函数f（x）的单调性，并用函数单调性的定义加以证明；（Ⅲ）求不等式f（x2+2x）+f（x-4）＞0的解．试题及答案-单选题-云返教育

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