设M是由满足下列性质的函数f（x）构成的集合：在定义域内存在x，使得f（x+1）=f（x）+f（1）成立．已知下列函数：①；②f（x）=2x；③f（x）=lg（x2+2）；④f（x）=cosπx，其中属于集合M的函数是（写出所有满足要求的函数的序号）．试题及答案-单选题-云返教育

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设M是由满足下列性质的函数f（x）构成的集合：在定义域内存在x，使得f（x+1）=f（x）+f（1）成立．已知下列函数：①

；②f（x）=2^x；③f（x）=lg（x²+2）；④f（x）=cosπx，其中属于集合M的函数是（写出所有满足要求的函数的序号）．

试题解答

②④

???据集合M的定义，可根据函数的解析式，f（x+1）=f（x）+f（1）构造方程，若方程有根，说明函数符合集合M的定义，若方程无根，说明函数不符号集合M的定义，由此对四个函数逐一进行判断，即可得到答案．

①中，若存在x，使f（x+1）=f（x）+f（1）
则

即x²+x+1=0，
∵△=1-4=-3＜0，故方程无解．即

?M
②中，存在x=1，使f（x+1）=2^x+1=f（x）+f（1）=2^x+2成立，即f（x）=2^x∈M；
③中，若存在x，使f（x+1）=f（x）+f（1）
则lg[（x+1）²+2]=lg（x²+2）+lg3
即2x²-2x+3=0，
∵△=4-24=-20＜0，故方程无解．即f（x）=lg（x²+2）?M
④存在x=

，使f（x+1）=cosπ（x+1）=f（x）+f（1）=cosπx+cosπ成立，即f（x）=cosπx∈M；
故答案为：②④

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必修1 人教A版单选题高中数学

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