已知函数f(x)=log4(4x-1)（1）判断f（x）的单调性，说明理由．（2）解方程f（2x）=f-1（x）．试题及答案-单选题-云返教育

试题详情

已知函数f(x)=log₄(4^x-1)
（1）判断f（x）的单调性，说明理由．
（2）解方程f（2x）=f^-1（x）．

试题解答

见解析

解：（1）4^x-1＞0，所以x＞0，所以定义域是（0，+∞），f（x）在（0，+∞）上单调增．
证法一：设0＜x₁＜x₂，则f(x₁)-f(x₂)=log₄(4^x₁-1)-log₄(4^x₂-1)=log₄

4^x₁-1

4^x₂-1

又∵0＜x₁＜x₂，∴1＜4^x₁＜4^x₂，0＜4^x₁-1＜4^x₂-1
∴

4^x₁-1

4^x₂-1

＜1，即log₄

4^x₁-1

4^x₂-1

＜0
∴f（x₁）＜f（x₂），f（x）在（0，+∞）上单调增．…5分
证法二：∵y=log₄x在（0，+∞）上都是增函数，…2分
y=4^x-1在（0，+∞）上是增函数且y=4^x-1＞0…4分
∴f(x)=log₄(4^x-1)在（0，+∞）上也是增函数． …5分
（2）f^-1(x)=log₄(4^x+1)，
∴f（2x）=f^-1（x），即0＜4^2x-1=4^x+14^2x-4^x-2=0，解得4^x=-1（舍去）或4^x=2，
∴x=log₄2=

…9分
经检验，x=

是方程的根． …10分．

标签

必修1 人教A版单选题高中数学

已知函数f(x)=log4(4x-1)（1）判断f（x）的单调性，说明理由．（2）解方程f（2x）=f-1（x）．试题及答案-单选题-云返教育

试题详情

试题解答

集合的包含关系判断及应用;集合的表示法;集合的分类;集合的含义;集合的确定性、互异性、无序性;集合的相等;元素与集合关系的判断;子集与真子集相关试题