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  • 已知函数f（x）=(13)x．（1）如果x∈[-1，1]时，求函数y=（f（x））2-2af（x）+3的最小值y（a）；（2）若a∈[-4，4]时，在（1）的条件下，求y（a）的值域．试题及答案-单选题-云返教育

      • 试题详情

      已知函数f（x）=(
      1
      3
      )x．
      （1）如果x∈[-1，1]时，求函数y=（f（x））      2-2af（x）+3的最小值y（a）；
      （2）若a∈[-4，4]时，在（1）的条件下，求y（a）的值域．

      试题解答

      见解析
      解：令t=(
      1
      3
      )x，∵x∈[-1，1]，
      ∴t∈[
      1
      3
      ，3]，则函数等价为y=t2-2at+3=（t-a）2+3-a2，
      （1）若a＜
      1
      3
      ，则函数在t∈[
      1
      3
      ，3]上单调递增，则函数的最小值为y（a）=y（
      1
      3
      ）=
      28
      9
      -
      2a
      3
      ，
      当
      1
      3
      ≤a≤3，函数的最小值为y（a）=3-a2，
      若a＞3，则函数在t∈[
      1
      3
      ，3]上单调递减，则函数的最小值为y（a）=y（3）=12-6a．
      故y（a）=
      {
      28
      3
      -
      2a
      3
      a＜
      1
      3
      3-a2
      1
      3
      ≤a≤3
      12-6aa＞3
      ．
      （2）作出函数y（a）的图象，则函数y（a）在a∈[-4，4]为减函数，
      当a∈[-4，
      1
      3
      ]，则y（a）∈（f（
      1
      3
      ），f（-4）]，
      即y（a）∈（
      82
      9
      ，12]，
      当a∈[
      1
      3
      ，3]，则y（a）∈[f（3），f（
      1
      3
      ）]，
      即y（a）∈[-6，
      26
      9
      ]，
      当a∈（3，4]，则y（a）∈[f（4），f（3）），
      即y（a）∈[-12，-6），
      综上y（a）∈[-12，
      26
      9
      ]∪（
      82
      9
      ，12]，
      故函数y（a）的值域为[-12，
      26
      9
      ]∪（
      82
      9
      ，12]．
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