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  • 已知a＞0，函数f(x)=|x-2a|x+2a在区间[1，4]上的最大值等于12，则a的值为 ．试题及答案-单选题-云返教育

      • 试题详情

      已知a＞0，函数f(x)=
      |x-2a|
      x+2a
      在区间[1，4]上的最大值等于
      1
      2
      ，则a的值为          ．

      试题解答

      2
      3
      或
      3
      2
      解：（1）当x-2a在区间[1，4]上恒大于零时，
      ∵x-2a＞0，∴a＜
      x
      2
      ；
      当x=1时，满足x-2a在[1，4]上恒大于零，即a＜
      1
      2
      ；
      此时函数f（x）=
      x-2a
      x+2a
      =1-
      4a
      x+2a
      ，
      该函数在定义域[1，4]上为增函数，在x=4时，取最大值f（4）=
      1
      2
      ，
      ∴a=
      2
      3
      ，不满足a＜
      1
      2
      的假设，舍去．
      （2）当x-2a在区间[1，4]上恒小于零时，
      ∵x-2a＜0，∴a＞
      x
      2
      ；
      当x=4时，满足x-2a在[1，4]上恒小于零，即a＞2；
      此时函数f（x）=
      -(x-2a)
      x+2a
      =
      4a
      x+2a
      -1，
      该函数在定义域[1，4]上为减函数，在x=1时，取最大值f（1）=
      1
      2
      ，
      ∴a=
      3
      2
      ，不满足a＞2的假设，舍去．
      （3）由前面讨论知，当
      1
      2
      ＜a＜2时，x-2a在区间[1，4]上既有大于零又有小于零时，
      ①当x＜2a时，x-2a＜0，此时函数f（x）=
      4a
      x+2a
      -1在[1，2a）上为减函数，在x=1时，取到最大值f（1）=
      1
      2
      ；
      ②当x＞2a时，x-2a＞0．此时函数f（x???=1-
      4a
      x+2a
      在（2a，4]时为增函数，在x=4时，取到最大值f（4）=
      1
      2
      ；
      总之，此时函数在区间[1，4]上先减后增，在端点处取到最大值；
      当函数在x=1处取最大值时，解得a=
      3
      2
      ，此时函数f（x）=
      |x-3|
      x+3
      ，将函数的另一个最大值点x=4代入得：
      f（4）=
      1
      7
      ，
      ∵f（1）＞f（4），∴满足条件；
      当函数在x=4处取最大值时，解得a=
      2
      3
      ，此时函数f（x）=
      |x-
      4
      3
      |
      x+
      4
      3
      ，将函数的另一个最大值点x=1代入得：
      f（1）=
      1
      7
      ，
      ∵f（1）＜f（4），∴满足条件；
      ∴a=
      2
      3
      或a=
      3
      2
      ；
      故答案为：
      2
      3
      或
      3
      2
      ．
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      必修1人教A版单选题高中数学

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