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  • 函数f（x）的定义域为（0，+∞），并满足以下条件：①对任意的x＞0，y＞0，有f（xy）=f（x）+f（y）； ②x＞1时，f（x）＞0．（1）求f（1）的值；（2）求证：f（x）在（0，+∞）上是单调增函数；（3）若x满足f(12)≤f(x)≤f(2)，求函数y=2x+1x的最大、最小值．试题及答案-单选题-云返教育

      • 试题详情

      函数f（x）的定义域为（0，+∞），并满足以下条件：
      ①对任意的x＞0，y＞0，有f（xy）=f（x）+f（y）； ②x＞1时，f（x）＞0．
      （1）求f（1）的值；
      （2）求证：f（x）在（0，+∞）上是单调增函数；
      （3）若x满足f(
      1
      2
      )≤f(x)≤f(2)，求函数y=2x+
      1
      x
      的最大、最小值．

      试题解答

      见解析
      解：（1）令x=y=1，则由①，有f（1）=f（1）+f（1），得f（1）=0；
      （2）设x      1，x2是定义域（0，+∞）上的任意两个实数，且x1＞x2＞0，
      则
      x1
      x2
      ＞1，则f(
      x1
      x2
      )＞0，
      于是有f(x      1)=f(
      x1
      x2
      ?x2)=f(
      x1
      x2
      )+f(x2)＞f(x2)，
      即f（x      1）＞f（x2）．
      则由函数单调性的定义知，f（x）在（0，+∞）上是单调增函数．
      （3）由（2）及f(
      1
      2
      )≤f(x)≤f(2)知，
      1
      2
      ≤x≤2，
      于是y=2x+
      1
      x
      =2(x+
      1
      2
      x
      )在[
      1
      2
      ，
      √2
      2
      ]上单调递减，在[
      √2
      2
      ，2]上单调递增，
      f(
      1
      2
      )=3，f(2)=
      9
      2
      ，
      因此最大值为x=2时，y=
      9
      2
      ，
      最小值为x=
      √2
      2
      时，y=2
      √2
      ，
      综上所述，y=2x+
      1
      x
      的最大值为
      9
      2
      ，最小值为2
      √2
      ．
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      必修1人教A版单选题高中数学

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