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  • 已知：二次函数g（x）是偶函数，且g（1）=0，对?x∈R，有g（x）≥x-1恒成立，令f（x）=g（x）+mlnx+12，（m∈R）（I）求g（x）的表达式；（II）当m＜0时，若?x＞0，使f（x）≤0成立，求m的最大值；（III）设1＜m＜2，H（x）=f（x）-（m+1）x，证明：对?x1，x2∈[1，m]，恒有|H（x1）-H（x2）|＜1．试题及答案-单选题-云返教育

      • 试题详情

      已知：二次函数g（x）是偶函数，且g（1）=0，对?x∈R，有g（x）≥x-1恒成立，令f（x）=g（x）+mlnx+
      1
      2
      ，（m∈R）
      （I）求g（x）的表达式；
      （II）当m＜0时，若?x＞0，使f（x）≤0成立，求m的最大值；
      （III）设1＜m＜2，H（x）=f（x）-（m+1）x，证明：对?x      1，x2∈[1，m]，恒有|H（x1）-H（x2）|＜1．

      试题解答

      见解析
      解（I）设g（x）=ax2+bx+c（a≠0），
      ∵g（x）是偶函数，∴g（-x）=g（x）∴b=0
      又g（1）=0∴a+c=0，
      ∴g（x）=ax      2-a
      ∵x-1≤g（x）对?x∈R恒成立，
      ∴ax      2-a≥x-1恒成立，
      ∴a＞0，且△≤0得 a=
      1
      2
      ，
      ∴g(x)=
      1
      2
      x2-
      1
      2
      ．
      （II） f(x)=g(x)+mlnx+
      1
      2
      (m∈R，x＞0)=
      1
      2
      x2+mlnx，
      f′(x)=x+
      m
      x

      当m＞0时，f（x）的值域为R
      当m=0时，f(x)=
      1
      2
      x2＞0对?x＞0，f(x)＞0恒成立
      当m＜0时，令 f′(x)=0?x=
      √-m

      x (0，
      √-m
      )
      √-m
      		(
      √-m
      ，+∞)
      f'（x） - 0 +
      f（x） ↘ 极小 ↗
      这时 f(x)min=f(
      √-m
      )=-
      m
      2
      +mln
      √-m

      若?x＞0使f（x）≤0成立则只须f（x）      min≤0即m≤-e，
      综上所述，实数m的取值范围（-∞，-e]，m的最大值为-e，
      （III）∵对?x∈[1，m]，H′(x)=
      (x-1)(x-m)
      x
      ≤0，所以H（x）在[1，m]单减
      于是 |H(x      1)-H(x2)|≤H(1)-H(m)=
      1
      2
      m2-mlnm-
      1
      2
      ，
      |H(x      1)-H(x2)|＜1?
      1
      2
      m2-mlnm-
      1
      2
      ＜1?
      1
      2
      m-lnm-
      3
      2m
      ＜0，
      记 h(m)=
      1
      2
      m-lnm+
      3
      2m
      (1＜m≤e)，则 h′(m)=
      1
      2
      -
      1
      m
      +
      3
      2m2
      =
      3
      2
      (
      1
      m
      -
      1
      3
      )2+
      1
      3
      ＞0
      所以函数h（m）在[1，e]是单增函数
      所以 h(m)＜h(e)=
      e
      2
      -1-
      3
      2e
      =
      (e-3)(e+1)
      2e
      ＜0
      故命题成立．
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      必修1人教A版单选题高中数学

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