设函数f（x）是定义在[-1，0）∪（0，1]上的奇函数，当x∈[-1，0）时，f（x）=2ax+（a∈R）．（1）当x∈（0，1]时，求f（x）的解析式；（2）若a＞-1，试判断f（x）在（0，1）上的单调性，并证明你的结论；（3）是否存在a，使得当x∈（0，1）时，f（x）有最大值-6．试题及答案-单选题-云返教育

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设函数f（x）是定义在[-1，0）∪（0，1]上的奇函数，当x∈[-1，0）时，f（x）=2ax+

（a∈R）．
（1）当x∈（0，1]时，求f（x）的解析式；
（2）若a＞-1，试判断f（x）在（0，1）上的单调性，并证明你的结论；
（3）是否存在a，使得当x∈（0，1）时，f（x）有最大值-6．

见解析

设x∈（0，1]，则-x∈[-1，0），f（-x）=-2ax+

，
∵f（x）是奇函数．∴f（x）=2ax-

，x∈（0，1]．

（2）证明：∵f′（x）=2a+

，
∵a＞-1，x∈（0，1]，

＞1，
∴a+

＞0．即f′（x）＞0．
∴f（x）在（0，1]上是单调递增函数．

（3）【解析】
当a＞-1时，f（x）在（0，1]上单调递增．
f（x）_max=f（1）=-6，?a=-

（不合题意，舍之），
当a≤-1时，f′（x）=0，x=

．
如下表：f_max（x）=f（

）=-6，解出a=-2

． x=

∈（0，1）．

∴存在a=-2

，使f（x）在（0，1）上有最大值-6．

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