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已知a∈R,函数f(x)=x2|x-a|.(1)当a=2时,求使f(x)=x成立的x的集合;(2)求函数y=f(x)在区间[1,2]上的最小值.试题及答案-单选题-云返教育
试题详情
已知a∈R,函数f(x)=x
2
|x-a|.
(1)当a=2时,求使f(x)=x成立的x的集合;
(2)求函数y=f(x)在区间[1,2]上的最小值.
试题解答
见解析
(Ⅰ)由题意,f(x)=x
2
|x-2|
当x<2时,由f(x)=x
2
(2-x)=x,解得x=0或x=1;
当x≥2时,由f(x)=x
2
(x-2)=x,解得x=1+
.
综上,所求解集为{0,1,1+
}
(Ⅱ)设此最小值为m.
①当a≤1时,在区间[1,2]上,f(x)=x
3
-ax
2
,
∵f′(x)=3x
2
-2ax=3x(x-
a)>0,x∈(1,2),
则f(x)是区间[1,2]上的增函数,∴m=f(1)=1-a.
②当1<a≤2时,在区间[1,2]上,f(x)=x
2
|x-a|≥0,由f(a)=0知m=f(a)=0.
③当a>2时,在区间[1,2]上,f(x)=ax
2
-x
3
f′(x)=2ax-3x
2
=3x(
a-x).
若a≥3,在区间(1,2)上,f'(x)>0,则f(x)是区间[1,2]上的增函数,
∴m=f(1)=a-1.
若2<a<3,则1<
a<2.
当1<x<
a时,f'(x)>0,则f(x)是区间[1,
a]上的增函数,
当
a<x<2时,f'(x)<0,则f(x)是区间[
a,2]上的减函数,
因此当2<a<3时,故m=f(1)=a-1或m=f(2)=4(a-2).
当2<a≤
时,4(a-2)≤a-1,故m=f(2)=4(a-2),
当
<a<3时,4(a-2)<a-1,故m=f(1)=a-1.
总上所述,所求函数的最小值m=
.
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