已知定义在R上的函数y=f（x）满足条件f（x+）=-f（x），且函数y=f（x-）是奇函数，给出以下四个命题：①函数f（x）是周期函数；②函数f（x）的图象关于点（-，0）对称；③函数f（x）是偶函数；④函数f（x）在R上是单调函数．在上述四个命题中，正确命题的序号是（写出所有正确命题的序号）试题及答案-单选题-云返教育

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已知定义在R上的函数y=f（x）满足条件f（x+

）=-f（x），且函数y=f（x-

）是奇函数，给出以下四个命题：
①函数f（x）是周期函数；
②函数f（x）的图象关于点（-

，0）对称；
③函数f（x）是偶函数；
④函数f（x）在R上是单调函数．
在上述四个命题中，正确命题的序号是（写出所有正确命题的序号）

见解析

题目中条件：f（x+

）=-f（x）可得f（x+3）=f（x）知其周期，利用奇函数图象的对称性，及函数图象的平移变换，可得函数的对称中心，结合这些条件可探讨函数的奇偶性，及单调性．

对于①：∵f（x+3）=-f（x+

）=f（x）∴函数f（x）是周期函数且其周期为3．①对
对于②：∵y=f（x-

）是奇函数∴其图象关于原点对称
又∵函数f（x）的图象是由y=f（x-

）向左平移

个单位长度得到．
∴函数f（x）的图象关于点（-

，0）对称，故②对．
对于③：由②???，对于任意的x∈R，都有f（-

-x）=-f（

x），用

换x，可得：f（-

-x）+f（x）=0
∴f（-

-x）=-f（x）=f（x+

）对于任意的x∈R都成立．
令t=

+x，则f（-t）=f（t），∴函数f（x）是偶函数，③对．
对于④：∵偶函数的图象关于y轴对称，∴f（x）在R上不是单调函数，④不对．
故答案为：①②③．

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