已知f（x）是定义在R上的奇函数，当（1）求f（x）的解析式（2）讨论函数f（x）在区间（-∞，0）上的单调性（3）设g（x）是函数f（x）在区间（0，+∞）上的导函数．若a＞1且g（x）在区间上的值域为，求a的值．试题及答案-单选题-云返教育

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已知f（x）是定义在R上的奇函数，当

（1）求f（x）的解析式
（2）讨论函数f（x）在区间（-∞，0）上的单调性
（3）设g（x）是函数f（x）在区间（0，+∞）上的导函数．若a＞1且g（x）在区间

上的值域为

，求a的值．

见解析

（1）∵f（x）是定义在R上的奇函数∴f（0）=0（1分）
又∵

∴当x＜0时-x＞0

∴

（3分）

（2）由（1）知当x∈（-∞，0）时，

，∴f'（x）=-2x-x²（4分）
令f'（x）=0得x=-2或x=0
当x∈（-∞，-2）时，f'（x）＜0，f（x）是减函数
当x∈（-2，0）时，f'（x）＞0，f（x）是增函数
∴f（x）在区间（-∞，-2）上是减函，数在（-2，0）上是增函数．（7分）

（3）∵当x＞0时，

∴g（x）=f'（x）=2x-x²=-（x-1）²+1
又∵a＞1
∴g（x）在区间

上，当x=1时g（x）取得最大值1．
当

时，

，由

得

当

时，g（x）_min=g（a）=2a-a²
由

得

或

∴所求的a的值为

（12分）

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