• 对勾函数f(x)=ax+bx,(a>0,b>0)是一种常见的基本初等函数,为了研究对勾函数f(x)=x+4x的一些性质,例如单调性,奇偶性,最值等性质.首先通过列表法,列举了函数f(x)=x+4x在(0,+∞)上部分自变量与函数值的对应值表,如下: x … 0.5 1 1.5 1.7 1.9 2 2.1 2.2 2.3 3 4 5 7 … y … 8.5 5 4.17 4.05 4.005 4 4.005 4.002 4.04 4.3 5 4.8 7.57 … 请观察表中y值随x值变化的特点,完成以下的问题.(Ⅰ)函数f(x)=x+4x,(x>0)在区间(0,2)上递减;函数f(x)=x+4x,(x>0)在区间 上递增.当x= 时,y最小= .(Ⅱ)证明:函数f(x)=x+4x(x>0)在区间(0,2)递减.(Ⅲ)思考:函数f(x)=x+4x(x<0)时,有最值吗?是最大值还是最小值?(注意:第(Ⅲ)问不必说明理由,直接写答案即可)试题及答案-单选题-云返教育

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      对勾函数f(x)=ax+
      b
      x
      ,(a>0,b>0)是一种常见的基本初等函数,为了研究对勾函数f(x)=x+
      4
      x
      的一些性质,例如单调性,奇偶性,最值等性质.首先通过列表法,列举了函数f(x)=x+
      4
      x
      在(0,+∞)上部分自变量与函数值的对应值表,如下:
      x 0.5 1 1.5 1.7 1.9 2 2.1 2.2 2.3 3 4 5 7
      y 8.5 5 4.17 4.05 4.005 4 4.005 4.002 4.04 4.3 5 4.8 7.57
      请观察表中y值随x值变化的特点,完成以下的问题.
      (Ⅰ)函数f(x)=x+
      4
      x
      ,(x>0)在区间(0,2)上递减;函数f(x)=x+
      4
      x
      ,(x>0)在区间          上递增.当x=          时,y最小=         
      (Ⅱ)证明:函数f(x)=x+
      4
      x
      (x>0)在区间(0,2)递减.
      (Ⅲ)思考:函数f(x)=x+
      4
      x
      (x<0)时,有最值吗?是最大值还是最小值?(注意:第(Ⅲ)问不必说明理由,直接写答案即可)

      试题解答


      (4,+∞):2:4
      解:(Ⅰ)由图表中数据可知函数f(x)=x+
      4
      x
      ,(x>0)在区间(4,+∞)上递增.当x=2时,y最小=4.
      (Ⅱ)证明:函数f(x)=x+
      4
      x
      (x>0)在区间(0,2)递减.
      设0<x
      1<x2<2,则f(x1)-f(x2)=x1+
      4
      x1
      -x2-
      4
      x2
      =(x1-x2)?
      x1x2-4
      x1x2

      ∵0<x
      1<x2<2,
      ∴0<x
      1x2<4,x1-x2<0,
      ∴f(x
      1)-f(x2)=(x1-x2)?
      x1x2-4
      x1x2
      >0,
      ∴f(x
      1)>f(x2),
      即函数f(x)=x+
      4
      x
      (x>0)在区间(0,2)递减.
      (Ⅲ)∵f(x)=x+
      4
      x

      ∴f(-x)=-x-
      4
      x
      =-(x+
      4
      x
      )=-f(x),
      即函数f(x)是奇函数,
      根据函数奇偶性的性质可知,当x<0时,函数有最大值,为f(-2)=-f(2)=-4.
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