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  • 设函数f（x）表示实数x与x的给定区间内整数之差绝对值的最小值．（1）当x∈[-12，12]时，求出f(x)的解析式，当x∈[k-12，k+12](k∈Z）时，写出用绝对值符号表示的f（x）的解析式；（2）证明函数f（x）是偶函数（x∈R）；（3）若e-12＜a＜1，求证方程f（x）-loga√x=0有且只有一个实根，并求出这个实根．试题及答案-单选题-云返教育

      • 试题详情

      设函数f（x）表示实数x与x的给定区间内整数之差绝对值的最小值．
      （1）当x∈[-
      1
      2
      ，
      1
      2
      ]时，求出f(x)的解析式，当x∈[k-
      1
      2
      ，k+
      1
      2
      ](k∈Z）时，写出用绝对值符号表示的f（x）的解析式；
      （2）证明函数f（x）是偶函数（x∈R）；
      （3）若      e-
      1
      2
      ＜a＜1，求证方程f（x）-loga
      √x
      =0有且只有一个实根，并求出这个实根．

      试题解答

      见解析
      解：（1）当x∈[-
      1
      2
      ，
      1
      2
      ]时，由定义知：x与0距离最近，f（x）=|x|，x∈[-
      1
      2
      ，
      1
      2
      ]．
      当x∈[k-
      1
      2
      ，k+
      1
      2
      ](k∈Z)时，由定义知：k为与x最近的一个整数，故f(x)=|x-k|，x∈[k-
      1
      2
      ，k+
      1
      2
      ](k∈Z)
      （2）对任何x∈R，函数f（x）都存在，且存在k∈Z，满足
      k-
      1
      2
      ≤x≤k+
      1
      2
      ，f(x)=|x-k|．由k-
      1
      2
      ≤x≤k+
      1
      2
      可以得出-k-
      1
      2
      ≤-x≤-k+
      1
      2
      (k∈z)
      即-x∈[-k-
      1
      2
      ，-k+
      1
      2
      ](-k∈Z）．
      由（1）的结论，f（-x）=|-x-（-k）|=|k-x|=|x-k|=f（x），即f（x）是偶函数．
      （3）f(x)-log      a
      √x
      =0，即|x-k|-
      1
      2
      logax=0．
      ①当x＞1时，|x-k|≥0＞
      1
      2
      logax，∴|x-k|-
      1
      2
      logax=0没有大于1的实根；
      ②容易验证x=1为方程|x-k|-
      1
      2
      logax=0的实根；
      ③当
      1
      2
      ＜x＜1时，方程|x-k|-
      1
      2
      logax=0变为1-x-
      1
      2
      logax=0．
      设H(x)=
      1
      2
      logax-(1-x)(
      1
      2
      ＜x＜1)．则H′(x)=
      1
      2xlna
      +1
      ＜
      1
      2xlne-
      1
      2
      +1=-
      1
      x
      +1＜0，
      所以当
      1
      2
      ＜x＜1时，H(x)为减函数，H（x）＞H（1）=0．所以方程没有
      1
      2
      ＜x＜1的实根；
      ④当0＜x≤
      1
      2
      时，方程|x-k|-
      1
      2
      logax=0变为x-
      1
      2
      logax=0．
      设G(x)=
      1
      2
      logax-x(0＜x≤
      1
      2
      )，G（x）为减函数，G(x)≥G(
      1
      2
      )=H(
      1
      2
      )＞H（1）=0，所以方程没有0＜x≤
      1
      2
      的实根． 综上可知，当e-
      1
      2
      ＜a＜1时，方程f（x）-loga
      √x
      =0有且仅有一个实根，实根为1．
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