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  • 设f（x）=e-xa+ae-x是定义在R上的函数．（1）f（x）可能是奇函数吗？（2）若f（x）是偶函数，试研究其单调性．试题及答案-单选题-云返教育

      • 试题详情

      设f（x）=
      e-x
      a
      +
      a
      e-x
      是定义在R上的函数．
      （1）f（x）可能是奇函数吗？
      （2）若f（x）是偶函数，试研究其单调性．

      试题解答

      见解析
      解：（1）假设f（x）是奇函数，由于定义域为R，
      ∴f（-x）=-f（x），
      即
      ex
      a
      +
      a
      ex
      =-(
      e-x
      a
      +
      a
      e-x
      )，
      整理得(a+
      1
      a
      )（ex+e-x）=0，
      即a+
      1
      a
      =0，即a2+1=0，显然无解．
      ∴f（x）不可能是奇函数．
      （2）因为f（x）是偶函数，所以f（-x）=f（x），
      即
      ex
      a
      +
      a
      ex
      =
      e-x
      a
      +
      a
      e-x
      ，
      整理得(a+
      1
      a
      )（ex-e-x）=0，
      又∵对任意x∈R都成立
      ∴有a-
      1
      a
      =0，得a=±1．
      当a=1时，f（x）=e      -x+ex，以下讨论其单调性，
      任取x      1，x2∈R且x1＜x2，
      则f（x      1）-f（x2）=e-x1+ex1-e-x2-ex2=（ex1-ex2）（1-
      1
      ex1ex2
      ）＞0，
      其中e      x1、ex2＞0，ex1-ex2＜0，
      当e      x1?ex2=ex1+x2＞0时，即x1+x2＞0时，f（x1）＜f（x2），f（x）为增函数，
      此时需要x      1+x2＞0，即增区间为[0，+∞），反之（-∞，0]为减区间．
      当a=-1时，同理可得f（x）在（-∞，0]上是增函数，在[0，+∞]上是减函数．
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      必修1人教A版单选题高中数学

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