已知函数f(x)=loga(x+1x-1)，（其中a＞0且a≠1）．（1）判断f（x）的奇偶性；（2）若a＞1，判断f（x）的单调性；（3）当f（x）的定义域区间为（1，a）时，f（x）的值域为（1，+∞），求a的值．试题及答案-单选题-云返教育

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已知函数f(x)=log_a(

x+1

x-1

)，（其中a＞0且a≠1）．
（1）判断f（x）的奇偶性；
（2）若a＞1，判断f（x）的单调性；
（3）当f（x）的定义域区间为（1，a）时，f（x）的值域为（1，+∞），求a的值．

见解析

解：（1）由

x+1

x-1

＞0得x＜-1或x＞1，即f（x）的定义域为{x|x＜-1或x＞1}，
又f（-x）=log_a

-x+1

-x-1

=log_a

x-1

x+1

=log_a(

x+1

x-1

)^-1=-f（x）
故f（x）为奇函数．
（2）f(x)=log_a(

x+1

x-1

)由y=log_at和t=

x+1

x-1

复合而成，
a＞1时，y=log_at为增函数，
而t=

x+1

x-1

=1+

x-1

在（-∞，-1）和（1，+∞）上都为减函数，
由复合函数的单调性知，f（x）在（-∞，-1）和（1，+∞）上都为减函数．
（3）由题意a＞1，由（2）可知f（x）在（1，a）上为减函数，
故f（x）＞f（a）=log_a

a+1

a-1

=1，即a²-2a-1=0，
a=1±

√2

，又因为a＞1，故a=1+

√2

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