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己知函数f(x)的定义域关于原点对称,且满足以下三条件:①当x1,x2是定义域中的数时,有f(x1-x2)=f(x1)?f(x2)+1f(x2)-f(x1);②f(a)=-1(a>0,a是定义域中的一个数);③当0<x<2a时,f(x)<0.(1)试证明函数f(x)是奇函数.(2)试证明f(x)在(0,4a)上是增函数.试题及答案-单选题-云返教育
试题详情
己知函数f(x)的定义域关于原点对称,且满足以下三条件:
①当x
1
,x
2
是定义域中的数时,有f(x
1
-x
2
)=
f(x
1
)?f(x
2
)+1
f(x
2
)-f(x
1
)
;
②f(a)=-1(a>0,a是定义域中的一个数);
③当0<x<2a时,f(x)<0.
(1)试证明函数f(x)是奇函数.
(2)试证明f(x)在(0,4a)上是增函数.
试题解答
见解析
解:(1)∵f(x)的定义域关于原点对称,x
1
,x
2
是定义域中的数时,
有f(x
1
-x
2
)=
f(x
1
)?f(x
2
)+1
f(x
2
)-f(x
1
)
;
且x
1
-x
2
,-(x
1
-x
2
)在定义域中,
∴f[-(x
1
-x
2
)]=f(x
2
-x
1
)=
f(x
1
)?f(x
2
)+1
f(x
1
)-f(x
2
)
=-
f(x
1
)?f(x
2
)+1
f(x
2
)-f(x
1
)
=-f(x
1
-x
2
);
∴f[-(x
1
-x
2
)]=-f(x
1
-x
2
)
?f(-x)=-f(x)
∴f(x)是奇函数.
(2)设0<x
1
<x
2
<2a,则0<x
2
-x
1
<2a,
∵在(0,2a)上,f(x)<0,
∴f(x
1
),f(x
2
),f(x
2
-x
1
)均小于零,
进而知f(x
2
-x
1
)=
f(x
1
)?f(x
2
)+1
f(x
1
)-f(x
2
)
中,f(x
1
)-f(x
2
)<0,
于是f(x
1
)<f(x
2
),
∴在(0,2a)上,f(x)是增函数.
又f(a)=f(2a-a)=
f(2a )?f(a)+1
f(a )-f(2a)
,
∵f(a)=-1,∴-1=
f(2a )?f(a)+1
f(a )-f(2a)
,
∴f(2a)=0,设2a<x<4a,则0<x-2a<2a,
f(x-2a)=
f(x )?f(2a)+1
f(2a )-f(x)
=
1
-f(x)
<0,于是f(x)>0,
即在(2a,4a)上,f(x)>0.
设2a<x
1
<x
2
<4a,则0<x
2
-x
1
<2a,
从而知f(x
1
),f(x
2
)均大于零,f(x
2
-x
1
)<0,
∵f(x
2
-x
1
)=
f(x
1
)?f(x
2
)+1
f(x
1
)-f(x
2
)
,
∴f(x
1
)-f(x
2
)<0,即
f(x
1
)<f(x
2
),即f(x)在(2a,4a)上也是增函数.
综上所述,f(x)在(0,4a)上是增函数.
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