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  • 讨论下述函数的奇偶性：（1）f（x）=√16x+1+2x2x，（2）f（x）={In(√x+1)+√x(x＞0)0(x=0)In(√1-x+√-x)(x＜0)，（3）f（x）=log2(√1-x2+√x2-1+1)，（4）f（x）=√a2-x2|x+a|-a（常数a≠0）．试题及答案-单选题-云返教育

      • 试题详情

      讨论下述函数的奇偶性：
      （1）f（x）=
      √16x+1
      +2x
      2x
      ，
      （2）f（x）=
      {
      In(
      √x+1
      )+
      √x
      (x＞0)
      0(x=0)
      In(
      √1-x
      +
      √-x
      )(x＜0)
      ，
      （3）f（x）=      log2(
      √1-x2
      +
      √x2-1
      +1)，
      （4）f（x）=
      √a2-x2
      |x+a|-a
      （常数a≠0）．

      试题解答

      见解析
      解：（1）函数定义域为R，
      先化简：f（x）=
      √16x+1
      4x
      +1=
      √4x+4-x
      +1，
      f（-x）=f（x），
      ∴f（x）为偶函数；

      （2）须要分三段讨论：
      ①设x＞0，∴-x＞0
      ∴f（-x）=ln（
      √1+x
      +
      √x
      ）=ln
      1
      √x+1
      -
      √x
      =-ln（-
      √x+1
      -
      √x
      ）=-f（x）
      ②设x＜0，∴-x＞0
      ∴f（-x）=ln（
      √-x+1
      -
      √-x
      ）=ln
      1
      √1-x
      +
      √-x
      =-ln（
      √1-x
      +
      √-x
      ）=-f（x）
      ③当x=0时f（x）=0，也满足f（-x）=-f（x）；
      由①、②、③知，???x∈R有f（-x）=-f（x），
      ∴f（x）为奇函数；

      （3）∵
      {
      1-x2≥0
      x2-1≥0
      ?x2=1，
      ∴函数的定义域为{x|x=±1}，
      ∴f（x）=log      21=0（x=±1），即f（x）的图象由两个点A（-1，0）与B（1，0）组成，
      这两点既关于y轴对称，又关于原点对称，
      ∴f（x）既是奇函数，又是偶函数；
      （4）∵x      2≤a2，

      ∴要分a＞0与a＜0两类讨论，
      ①当a＞0时，
      {
      -a≤x≤a
      |x+a|≠a
      ?函数的定义域为（-a，0）∪（0，a）
      ∴|x+a|＞0，∴f（x）=
      √a2-x2
      x
      ，
      ∴当a＞0时，f（x）为奇函数；
      ②当a＜0时，
      {
      -a≤x≤a
      |x+a|≠a
      ?函数的定义域为（a，0）∪（0，-a）
      ∵|x+a|＜0，∴f（x）=
      √a2-x2
      -x-2a
      ，取定义域内关于原点对称的两点x1=
      a
      2
      ，x2=-
      a
      2
      ，
      ∵f（
      a
      2
      ）±f（-
      a
      2
      ）=
      √3
      5
      ±
      √3
      3
      ≠0，
      ∴当a＜0时，f（x）既不是奇函数，也不是偶函数．
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