已知函数f（x）=12x-1+a是奇函数．（1）求常数a的值；（2）判断f（x）的单调性并给出证明．试题及答案-单选题-云返教育

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已知函数f（x）=

2^x-1

+a是奇函数．（1）求常数a的值；（2）判断f（x）的单调性并给出证明．

见解析

解：（1）函数f（x）=

2^x-1

+a是奇函数，可得f（x）+f（-x）=0
∴

2^x-1

+a+

2^-x-1

+a=0，解得a=

∴函数f（x）=

2^x-1

（2）由（1）得f（x）=

2^x-1

在（-∞，0）与（0，+∞）上都是减函数，证明如下
任取x₁＜x₂则
f（x₁）-f（x₂）=

2^x₁-1

2^x₂-1

2^x₂-2^x₁

(2^x₁-1)(2^x₂-1)

当x₁，x₂∈（0，+∞）时，2^x₁-1＞0，2^x₂-1＞0，2^x₂-2^x₂＞0，所以

2^x₂-2^x₁

(2^x₁-1)(2^x₂-1)

＞0，
有f（x₁）-f（x₂）＞0
当x₁，x₂∈（-∞，0）时，2^x₁-1＜0，2^x₂-1＜0，2^x₂-2^x₁＞0，所以

2^x₂-2^x₁

(2^x₁-1)(2^x₂-1)

＞0，
有f（x₁）-f（x₂）＞0
综上知，
f（x）=

2^x-1

在（-∞，0）与（0，+∞）上都是减函数

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