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年级：: 全部; 高一; 高二; 高三

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已知函数f(x)=2x+a2x+1，且函数f（x）为奇函数．（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）若f(x)＜12，求x的取值范围；（Ⅲ）证明f（x）在（-∞，+∞）上为增函数．试题及答案-单选题-云返教育

试题详情

已知函数f(x)=

2^x+a

2^x+1

，且函数f（x）为奇函数．
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）若f(x)＜

1

2

，求x的取值范围；
（Ⅲ）证明f（x）在（-∞，+∞）上为增函数．

试题解答

见解析

解：（Ⅰ）∵f（-x）=-f（x），即

2^-x+a

2^-x+1

+

2^x+a

2^x+1

=0，

1+a?2^x

2^x+1

+

2^x+a

2^x+1

=0?(a+1)(2^x+1)=0?a=-1
（Ⅱ）∵

2^x-1

2^x+1

＜

1

2

?2(2^x-1)＜2^x+1，
∴2^x＜3，∴x＜log₂3
（Ⅲ）任取x₁、x₂∈（-∞，+∞）且x₁＜x₂
f（x₁）-f（x₂）=

2^x₁-1

2^x₁+1

-

2^x₂-1

2^x₂+1

=

2(2^x₁-2^x₂)

(2^x₁+1)(2^x₂+1)

∵y'=2^x在R上为增函数，x₁＜x₂∴2^X₁＜2^X₂又∵2^X₁+1＞0，2^X₂+1＞0
∴f（x₁）-f（x₂）＜0即∴f（x）在R上为增函数．

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必修1 人教A版单选题高中数学

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