已知函数f(x)=a(2x+1)-22x+1．（1）是否存在实数a使得f（x）为奇函数？若存在，求出a的值并证明；若不存在，说明理由；（2）在（1）的条件下判断f（x）的单调性，并用定义加以证明．试题及答案-单选题-云返教育

试题详情

已知函数f(x)=

a(2^x+1)-2

2^x+1

．
（1）是否存在实数a使得f（x）为奇函数？若存在，求出a的值并证明；若不存在，说明理由；
（2）在（1）的条件下判断f（x）的单调性，并用定义加以证明．

见解析

解：（1）存在a使得函数f（x）为奇函数．
证明：假设存在这样的a的值，∵函数f（x）的定义域为实数集R，∴f（0）=0，∴

2a-2

=0，解得a=1．
当a=1时，f（x）=

2^x-1

2^x+1

．
∵f(-x)=

2^-x-1

2^-x+1

1-2^x

1+2^x

=-f（x），
∴a=1时，函数f（x）为奇函数．
（2）在（1）的条件下，f（x）=

2^x-1

2^x+1

2^x+1-2

2^x+1

=1-

2^x+1

在实数集R上单调递增．
证明：?x₁＜x₂，
则f（x₁）-f（x₂）=(1-

2^x₁+1

)-(1-

2^x₂+1

2^x₁+1

2(2^x₁-2^x₂)

(2^x₁+1)(2^x₂+1)

，
∵x₁＜x₂，∴2^x₁-2^x₂＜0，2^x₁+1＞0，2^x₂+1＞0．
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂）
∴函数f（x）在R上单调递增．

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