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已知函数f(x)是定义在[-e,0)∪(0,e]上的奇函数,当x∈(0,e]时,f(x)=ax+lnx(其中e是自然界对数的底,a∈R)(1)求f(x)的解析式;(2)设g(x)=ln|x||x|,x∈[-e,0),求证:当a=-1时,f(x)>g(x)+12;(3)是否存在实数a,使得当x∈[-e,0)时,f(x)的最小值是3?如果存在,求出实数a的值;如果不存在,请说明理由.试题及答案-单选题-云返教育
试题详情
已知函数f(x)是定义在[-e,0)∪(0,e]上的奇函数,当x∈(0,e]时,f(x)=ax+lnx(其中e是自然界对数的底,a∈R)
(1)求f(x)的解析式;
(2)设g(x)=
ln|x|
|x|
,x∈[-e,0),求证:当a=-1时,f(x)>g(x)+
1
2
;
(3)是否存在实数a,使得当x∈[-e,0)时,f(x)的最小值是3?如果存在,求出实数a的值;如果不存在,请说明理由.
试题解答
见解析
解:(1)设x∈[-e,0),则-x∈(0,e],∴f(-x)=-ax+ln(-x),
又∵f(x)是定义在[-e,0)∪(0,e]上的奇函数,
∴f(x)=-f(-x)=ax-ln(-x),
∴函数f(x)的解析式为f(x)=
{
ax-ln(-x),x∈[-e,0)
ax+lnx,x∈(0,e]
(2)证明:当x∈[-e,0)且a=-1时,f(x)=-x-ln(-x),g(x)=
ln(-x)
-x
,
设h(x)=
ln(-x)
-x
+
1
2
,
∵f′(x)=-1-
1
x
=-
x+1
x
,
∴当-e≤x≤-1时,f'(x)≤0,此时f(x)单调递减;
当-1<x<0时,f'(x)>0,此时f(x)单调递增,
∴f(x)
min
=f(-1)=1>0,
又∵h′(x)=
ln(-x)-1
x
2
,
∴当-e≤x<0时,h'(x)≤0,此时h(x)单调递减,
∴h(x)
max
=h(-e)=
1
e
+
1
2
<
1
2
+
1
2
=1=f(x)
min
∴当x∈[-e,0)时,f(x)>h(x),即f(x)>g(x)+
1
2
(3)解:假设存在实数a,使得当x∈[-e,0)时,f(x)=ax-ln(-x)有最小值是3,
则f′(x)=a-
1
x
=
ax-1
x
(ⅰ)当a=0,x∈[-e,0)时,f′(x)=-
1
x
>0.f(x)在区间[-e,0)上单调递增,
f(x)
min
=f(-e)=-1,不满足最小值是3
(ⅱ)当a>0,x∈[-e,0)时,f'(x)>0,f(x)在区间[-e,0)上单调递增,
f(x)
min
=f(-e)=-ae-1<0,也不满足最小值是3
(ⅲ)当-
1
e
≤a<0,由于x∈[-e,0),则f′(x)=a-
1
x
≥0,
故函数f(x)=ax-ln(-x)是[-e,0)上的增函数.
∴f(x)
min
=f(-e)=-ae-1=3,解得a=-
4
e
<-
1
e
(舍去)
(ⅳ)当a<-
1
e
时,则
当-e≤x<
1
a
时,f′(x)=a-
1
x
<0,此时函数f(x)=ax-ln(-x)是减函数;
当
1
a
<x<0时,f′(x)=a-
1
x
>0,此时函数f(x)=ax-ln(-x)是增函数.
∴f(x)
min
=f(
1
a
)=1-ln(-
1
a
)=3,解得a=-e
2
综上可知,存在实数a=-e
2
,使得当x∈[-e,0)时,f(x)有最小值3.
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