已知函数是定义在（-1，1）上的奇函数，且．（1）求函数f（x）的解析式；（2）用单调性的定义证明f（x）在（-1，1）上是增函数；（3）解不等式f（t2-1）+f（t）＜0．试题及答案-单选题-云返教育

试题详情

已知函数

是定义在（-1，1）上的奇函数，且

．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）用单调性的定义证明f（x）在（-1，1）上是增函数；
（3）解不等式f（t²-1）+f（t）＜0．

试题解答

见解析

（1）∵函数

是定义在（-1，1）上的奇函数，
∴由f（0）=0，得b=0．
又∵

，∴

，解之得a=1；
因此函数f（x）的解析式为：

．
（2）设-1＜x₁＜x₂＜1，则

∵-1＜x₁＜x₂＜1，
∴x₁-x₂＜0，1-x₁x₂＞0，1+x₁²＞0，1+x₂²＞0，
从而f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂）
所以f（x）在（-1，1）上是增函数．
（3）∵f（x）是奇函数，
∴f（t²-1）+f（t）＜0即为f（t²-1）＜-f（t）=f（-t），
又∵f（x）在（-1，1）上是增函数，
∴f（t²-1）＜f（-t）即为t²-1＜-t，解之得：