已知定义域为R的函数f(x)=b-2x2x+a是奇函数．（1）求a，b的值；（2）用定义证明f（x）在R上为减函数；（3）若对于任意t∈[-2，2]，不等式f（t2-2t）+f（-2t2+k）＜0恒成立，求k的取值范围．试题及答案-单选题-云返教育

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已知定义域为R的函数f(x)=

b-2^x

2^x+a

是奇函数．
（1）求a，b的值；
（2）用定义证明f（x）在R上为减函数；
（3）若对于任意t∈[-2，2]，不等式f（t²-2t）+f（-2t²+k）＜0恒成立，求k的取值范围．

试题解答

见解析

解：（1）∵定义域为R的函数f(x)=

b-2^x

2^x+a

是奇函数．
∴f（0）=

b-1

1+a

=0，解得b=1．
由f（-1）=-f（1）得

1-2^-1

2^-1+a

1-2

2+a

，
解得a=1，
此时f（x）=

1-2^x

1+2^x

，满足f（-x）=-f（x），
及函数f（x）是奇函数．
（2）用定义证明f（x）在R上为减函数；
∵f（x）=

1-2^x

1+2^x

=1+

1+2^x

，
设x₁＜x₂，f（x₁）-f（x₂）=

1+2^x₁

1+2^x₂

2(2^x₂-2^x₁)

(1+2^x₁)(1+2^x₂)

，
∵x₁＜x₂，
∴2^x₂-2^x₁＞0，(1+2^x₁)(1+2^x₂)＞0，
∴

2(2^x₂-2^x₁)

(1+2^x₁)(1+2^x₂)

＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＞0，
及f（x₁）＞f（x₂），
∴函数f（x）在R上为减函数．
（3）由（1）（2）函数为奇函数且为减函数，
∴不等式f（t²-2t）+f（-2t²+k）＜0恒成立，等价为
f（t²-2t）＜-f（-2t²+k）=f（2t²-k），
即t²-2t＞2t²-k对t∈[-2，2]，
及k＞t²+2t对t∈[-2，2]恒成立，
∵y=t²+2t=（t+1）²-1在t∈[-2，2]上的最大值为8，
∴k＞8，
即k的取值范围是k＞8．

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已知定义域为R的函数f(x)=b-2x2x+a是奇函数．（1）求a，b的值；（2）用定义证明f（x）在R上为减函数；（3）若对于任意t∈[-2，2]，不等式f（t2-2t）+f（-2t2+k）＜0恒成立，求k的取值范围．试题及答案-单选题-云返教育

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