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定义在R上的奇函数f（x）有最小正周期为2，且x∈（0，1）时，f(x)=2x4x+1．（1）求f（x）在[-1，1]上的解析式；（2）判断f（x）在（0，1）上的单调性；（3）当λ为何值时，方程f（x）=λ在x∈[-1，1]上有实数解．试题及答案-单选题-云返教育

试题详情

定义在R上的奇函数f（x）有最小正周期为2，且x∈（0，1）时，f(x)=

2^x

4^x+1

．
（1）求f（x）在[-1，1]上的解析式；
（2）判断f（x）在（0，1）上的单调性；
（3）当λ为何值时，方程f（x）=λ在x∈[-1，1]上有实数解．

试题解答

见解析

解：（1）∵f（x）是x∈R上的奇函数，
∴f（0）=0．
又∵2为最小正周期，
∴f（1）=f（1-2）=f（-1）=-f（1）=0．
设x∈（-1，0），则-x∈（0，1），f(-x)=

2^-x

4^-x+1

2^x

4^x+1

=-f(x)，
∴f(x)=-

2^x

4^x+1

，
∴f(x)=

{

2^x

4^x+1

，x∈(-1，0)

0，x∈{-1，0，1}

2^x

4^x+1

，x∈(0，1).

（2）设0＜x₁＜x₂＜1，
f（x₁）-f（x₂）=

(2^x₁-2^x₂)+(2^x₁+2x₂-2^x₂+2x₁)

(4^x₁+1)(4^x₂+1)

(2^x₁-2^x₂)(1-2^x₁+x₂)

(4^x₁+1)(4^x₂+1)

＞0，
∴f（x）在（0，1）上为减函数．

（3）∵f（x）在（0，1）上为减函数，
∴

2¹

4¹+1

＜f(x)＜

2⁰

4⁰+1

，
即f（x）∈（

，

）．
同理，x在（-1，0）上时，f（x）∈（-

，-

）．
又f（-1）=f（0）=f（1）=0，
∴当λ∈（-

，-

）∪（

，

）???λ=0时，f（x）=λ在[-1，1]内有实数解．

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必修1 人教A版单选题高中数学

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试题解答

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