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已知函数y=f(x)是定义域为R的偶函数,其图象均在x轴的上方,对任意的m、n∈[0,+∞),都有f(m?n)=[f(m)]n,且f(2)=4,又当x≥0时,其导函数f′(x)>0恒成立.(Ⅰ)求F(0)、f(-1)的值;(Ⅱ)解关于x的不等式:[f(kx+22√x2+4)]2≥2,其中k∈(-1,1).试题及答案-单选题-云返教育
试题详情
已知函数y=f(x)是定义域为R的偶函数,其图象均在x轴的上方,对任意的m、n∈[0,+∞),都有f(m?n)=[f(m)]
n
,且f(2)=4,又当x≥0时,其导函数f′(x)>0恒成立.
(Ⅰ)求F(0)、f(-1)的值;
(Ⅱ)解关于x的不等式:[f(
kx+2
2
√
x
2
+4
)]
2
≥2,其中k∈(-1,1).
试题解答
见解析
解:(1)由f(m?n)=[f(m)]
n
得:f(0)=f(0×0)=[f(0)]
0
∵函数f(x)的图象均在x轴的上方,
∴f(0)>0,∴f(0)=1(3分)
∵f(2)=f(1×2)=[f(1)]
2
=4,又f(x)>0
???f(1)=2,f(-1)=f(1)=2(3分)
(2)[f(
kx+2
2
√
x
2
+4
)]
2
≥2?f(
kx+2
2
√
x
2
+4
?2)≥2?f(
kx+2
√
x
2
+4
)≥f(±1)?f(
|kx+2|
√
x
2
+4
)≥f(1)
又当x≥0时,其导函数f'(x)>0恒成立,
∴y=f(x)在区间[0,+∞)上为单调递增函数
∴
|kx+2|
√
x
2
+4
≥1?|kx+2|≥
√
x
2
+4
?(k
2
-1)x
2
+4kx≥0
①当k=0时,x∈{0};
②当-1<k<0时,x(x-
4k
1-k
2
)≤0?
4k
1-k
2
≤x≤0,
∴x∈[
4k
1-k
2
,0];
③当0<k<1时,x(x-
4k
1-k
2
)≤0?0≤x≤
4k
1-k
2
,
∴x∈[0,
4k
1-k
2
]
综上所述:当k=0时,x∈{0};当-1<k<0时,x∈[
4k
1-k
2
,0];
当0<k<1时,x∈[0,
4k
1-k
2
].
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