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已知定义在实数集R上的奇函数f(x),当x>0时,f(x)的图象是抛物线的一部分,且该抛物线经过点(1,0)、(3,0)和(0,3).(1)求出f(x)的解析式;(2)写出f(x)的单调区间;(3)已知集合A={(x,y)|y=f(x)},B={(x,y)|y=t,x∈R,t∈R},若A∩B有4个元素,求实数t的取值范围.试题及答案-单选题-云返教育
试题详情
已知定义在实数集R上的奇函数f(x),当x>0时,f(x)的图象是抛物线的一部分,且该抛物线经过点(1,0)、(3,0)和(0,3).
(1)求出f(x)的解析式;
(2)写出f(x)的单调区间;
(3)已知集合A={(x,y)|y=f(x)},B={(x,y)|y=t,x∈R,t∈R},若A∩B有4个元素,求实数t的取值范围.
试题解答
见解析
解:(1)根据题意,可得
∵当x>0时,抛物线经过点(1,0)、(3,0),
∴设函数解析式为f(x)=a(x-1)(x-3),(a≠0),
由点(0,3)在抛物线上,得
f(0)=a×(-1)×(-3)=3a=3,解之得a=1..
∴当x>0时,f(x)=x
2
-4x+3;
当x<0时,则-x>0,可得f(-x)=(-x)
2
-4(-x)+3=x
2
+4x+3,
∵f(x)是奇函数,∴当x>0时,f(x)=-f(-x)=-x
2
-4x-3,
结合当x=0时,f(0)=0,可得f(x)=
{
x
2
-4x+3,x>0
0,x=0
-x
2
-4x-3,x<0
.
(2)由函数的图象,可得函数的单调增区间为(-∞,-2]和[2,+∞);函数的单调减区间为[-2,0)和(0,2].
(3)由A={(x,y)|y=f(x)},B={(x,y)|y=t,x∈R,t∈R},
可得A∩B的元素的个数,即为直线y=t与函数y=f(x)图象公共点的个数.
∵当x>0时,f(x)=x
2
-4x+3在x=2时有最小值-1;当x>0时,f(x)=-x
2
-4x-3在x=-2时有最大值1
∴根据函数y=f(x)的图象,平移直线y=t可得
①当t>1或t<-1时,直线y=t与函数图象有2个公共点;
②当t=±1时,直线y=t与函数图象有3个公共点;
③当t=0时,直线y=t与函数图象有5个公共点;
④当-1<t<1且t≠0时,直线y=t与函数图象有4个公共点
由此可得满足A∩B有4个元素的实数t的取值范围为(-1,0)∪(0,1).
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