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  • 已知函数已知幂函数g(x)=x-m2+2m+3(m∈Z)为偶函数，且在区间（0，+∞）上是单调增函数，又f（x）=sinx+mcosx，F（x）=f′（x）[f（x）+f′（x）]-1，f′（x）是f（x）的导函数．（I）若tanx=13，求F（x）的值；（Ⅱ）把F（x）图象的横坐标缩小为原来的一半后得到H（x），求H（x）的单调减区间．试题及答案-单选题-云返教育

      • 试题详情

      已知函数已知幂函数g(x)=x-m2+2m+3(m∈Z)为偶函数，且在区间（0，+∞）上是单调增函数，又f（x）=sinx+mcosx，F（x）=f′（x）[f（x）+f′（x）]-1，f′（x）是f（x）的导函数．
      （I）若tanx=
      1
      3
      ，求F（x）的值；
      （Ⅱ）把F（x）图象的横坐标缩小为原来的一半后得到H（x），求H（x）的单调减区间．

      试题解答

      见解析
      解：（I）幂函数f(x)=x-m2+2m+3(m∈Z)为偶函数，且在区间（0，+∞）上是单调增函数
      ∴-m      2+2m+3＞0，∴-1＜m＜3，
      又m∈Z，函数f（x）为偶函数，故m=1…．（3分）
      ∴f（x）=sinx+cosx，f'（x）=cosx-sinx
      ∴F（x）=f′（x）[f（x）+f′（x）]-1=2（cosx-sinx）cosx-1=cos2x-sin2x=
      1-tan2x
      1+tan2x
      -
      2tanx
      1+tan2x

      ∵tanx=
      1
      3
      ，F（x）=
      4
      5
      -
      3
      5
      =
      1
      5
      ．…（6分）
      （Ⅱ）由（I）知：F（x）=cos2x-sin2x=
      √2
      cos(2x+
      π
      4
      )，∴H(x)=
      √2
      cos(4x+
      π
      4
      )．
      令2kπ≤4x+
      π
      4
      ≤2kπ+π，k∈Z得：
      kπ
      2
      -
      π
      8
      ≤x≤
      kπ
      2
      +
      3π
      8
      ，k∈Z
      ∴H（x）的单调减区间为[
      kπ
      2
      -
      π
      8
      ，
      kπ
      2
      +
      3π
      8
      ]k∈Z…（12???）
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