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  • 若函数f（x）同时满足下列两个性质，则称其为“规则函数”①函数f（x）在其定义域上是单调函数；②在函数f（x）的定义域内存在闭区间[a，b]使得f（x）在[a，b]上的最小值是a2，且最大值是b2．请解答以下问题：（Ⅰ） 判断函数f（x）=x2-2x，（x∈（0，+∞））是否为“规则函数”？并说明理由；（Ⅱ）判断函数g（x）=-x3是否为“规则函数”？并说明理由．若是，请找出满足②的闭区间[a，b]；（Ⅲ）若函数h(x)=√x-1+t是“规则函数”，求实数t的取值范围．试题及答案-单选题-云返教育

      • 试题详情

      若函数f（x）同时满足下列两个性质，则称其为“规则函数”
      ①函数f（x）在其定义域上是单调函数；
      ②在函数f（x）的定义域内存在闭区间[a，b]使得f（x）在[a，b]上的最小值是
      a
      2
      ，且最大值是
      b
      2
      ．
      请解答以下问题：
      （Ⅰ） 判断函数f（x）=x      2-2x，（x∈（0，+∞））是否为“规则函数”？并说明理由；
      （Ⅱ）判断函数g（x）=-x      3是否为“规则函数”？并说明理由．若是，请找出满足②的闭区间[a，b]；
      （Ⅲ）若函数h(x)=
      √x-1
      +t是“规则函数”，求实数t的取值范围．

      试题解答

      见解析
      解：（I）f（x）=x2-2x=（x-1）2-1（x≥0）在（0，1）单调递减，[1，+∞）单调递增，
      在（0，+∞）内不单调，∴f（x）不是“规则函数”；
      （Ⅱ）g（x）=-x      3在R上单调递减，
      假设g（x）是“规则函数”，即存在[a，b]满足条件g(x)      max=g(a)=-a3=
      b
      2
      ，g(x)min=g(b)=-b3=
      a
      2
      ，且a＜b，
      可解得a=-
      √2
      2
      ，b=
      √2
      2
      ，
      ∴闭区间为[-
      √2
      2
      ，
      √2
      2
      ]；
      （Ⅲ）∵h（x）是“规则函数”，h(x)=
      √x-1
      +t（x≥1），即存在区间[a，b]满足h（x）∈[
      a
      2
      ，
      b
      2
      ]（（b＞a≥1）），
      又∵h（x）在[1，+∞）上单增，h(x)      min=h(a)=
      √a-1
      +t=
      a
      2
      ，h(x)max=h(b)=
      √b-1
      +t=
      b
      2
      ，
      ∴方程
      √x-1
      +t=
      x
      2
      在[1，+∞）上有两个相异实根，
      令
      √x-1
      =m(m≥0)，即有m2-2m-2t+1=0在[0，+∞）上有两个相异实根，即（m-1）2=2t，m∈[0，+∞），
      ∴0＜2t≤1，解得0＜t≤
      1
      2
      ，
      所以得t∈（0，
      1
      2
      ]．
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