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已知定义域为R的函数f(x)=-2x+a2x+1是奇函数．（Ⅰ）求a值；（Ⅱ）判断并用定义法证明该函数在定义域R上的单调性；（Ⅲ）设关于x的函数F（x）=f（4x-b）+f（2x+1）有零点，求实数b的取值范围．试题及答案-单选题-云返教育

试题详情

已知定义域为R的函数f(x)=

-2^x+a

2^x+1

是奇函数．
（Ⅰ）求a值；
（Ⅱ）判断并用定义法证明该函数在定义域R上的单调性；
（Ⅲ）设关于x的函数F（x）=f（4^x-b）+f（2^x+1）有零点，求实数b的取值范围．

试题解答

见解析

解：（Ⅰ）∵f（x）是R上的奇函数，
∴f（0）=0，
即

-2⁰+a

2⁰+1

=0，
∴

-1+a

=0，
解得a=1，
（Ⅱ）f（x）在R上单调递减．证明如下：
由（Ⅰ）知f（x）=

-2^x+1

2^x+1

2^x-1

2^x+1

2^x+1-2

2^x+1

=-1+

2^x+1

，
设x₁＜x₂，则f（x₁）-f（x₂）=（-1+

2^x₁+1

）-（-1+

2^x₂+1

）=

2(2^x₂-2^x₁)

(2^x₁+1)(2^x₂+1)

，
∵x₁＜x₂，∴2 ^x₂-2 ^x₁＞0，2 ^x₁+1＞0，2 ^x₂+1＞0，
∴

2(2^x₂-2^x₁)

(2^x₁+1)(2^x₂+1)

＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＞0，
即f（x₁）＞f（x₂），
∴f（x）在R上是减函数．
（III）F（x）=f（4^x-b）+f（2^x+1）=（-1+

2^{4^x-b}+1

）+（-1+

2^{2^x+1}+1

）
=-2+

2^{4^x-b}+1

2^{2^x+1}+1

，则问题转化为方程-2+

2^{4^x-b}+1

2^{2^x+1}+1

=0有解，
化简得1=2^{4^x-b+2^x+1}，
∴4^x+2^x+1-b=0，
∴b=4^x+2^x+1，则问题转化为方程b=4^x+2^x+1有解，
令t=2^x，t＞0，则4^x+2^x+1=t²+2t=（t+1）²-1＞0，
∴b＞0．

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已知定义域为R的函数f(x)=-2x+a2x+1是奇函数．（Ⅰ）求a值；（Ⅱ）判断并用定义法证明该函数在定义域R上的单调性；（Ⅲ）设关于x的函数F（x）=f（4x-b）+f（2x+1）有零点，求实数b的取值范围．试题及答案-单选题-云返教育

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