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已知函数f(x)=ax2+bx+1,a,b为实数,a≠0,x∈R,F(x)={f(x),x>0-f(x),x<0,(1)若f(-1)=0,且函数f(x)的值域为[0,+∞),求F(x)的表达式;(2)在(1)的条件下,当x∈[-1,1]时,g(x)=f(x)+kx是单调函数,求实数k的取值范围;(3)设mn<0,m+n>0,a>0,且函数f(x)为偶函数,判断F(m)+F(n)是否大于0.试题及答案-单选题-云返教育
试题详情
已知函数f(x)=ax
2
+bx+1,a,b为实数,a≠0,x∈R,F(x)=
{
f(x),x>0
-f(x),x<0
,
(1)若f(-1)=0,且函数f(x)的值域为[0,+∞),求F(x)的表达式;
(2)在(1)的条件下,当x∈[-1,1]时,g(x)=f(x)+kx是单调函数,求实数k的取值范围;
(3)设mn<0,m+n>0,a>0,且函数f(x)为偶函数,判断F(m)+F(n)是否大于0.
试题解答
见解析
解:(1)依题意,有
{
a-b+1=0
△=b
2
-4a=0
,
解得
{
a=1
b=2
,∴f(x)=x
2
+2x+1,
∴F(x)=
{
x
2
+2x+1,(x>0)
-x
2
-2x-1,(x<0).
(2)由(1)得g(x)=f(x)+kx=x
2
+2x+1+kx=x
2
+(k+2)x+1,
∴函数g(x)的对称轴x=-
k+2
2
,
∵g(x)在区间[-1,1]上是单调函数,
∴-
k+2
2
≤-1,或-
k+2
2
≥1.
解得 k≥0,或k≤-4.
∴实数k的取值范围为(-∞,-4]∪[0,+∞),
(3)∵f(x)=ax
2
+bx+1为偶函数,∴b=0,即f(x)=ax
2
+1(a>0),
∴F(x)=
{
ax
2
+1,(x>0)
-ax
2
-1,(x<0).
∵mn<0,m+n>0,a>0,不妨设n<0<m,则有0<-n<m,
∴m-n>0,m+n>0.
∵F(m)+F(n)=am
2
+1-an
2
-1=a(m+n)(m-n),
∴F(m)+F(n)>0.
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单选题
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数学
集合的包含关系判断及应用;集合的表示法;集合的分类;集合的含义;集合的确定性、互异性、无序性;集合的相等;元素与集合关系的判断;子集与真子集
相关试题
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第1章 集合
1.1 集合的含义与表示
集合的表示法
集合的分类
集合的含义
集合的确定性、互异性、无序性
元素与集合关系的判断
第3章 指数函数和对数函数
3.1 正整数指数函数
正整数指数函数
第4章 函数应用
4.1 函数与方程
二分法的定义
二分法求方程的近似解
根的存在性及根的个数判断
函数的零点
函数的零点与方程根的关系
函数零点的判定定理
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