已知函数f（x）=ax+a-3ax+a（a＞0且a≠1）．（Ⅰ）若函数f（x）是R上的奇函数，求实数a的值；（Ⅱ）当1≤x≤2时，请回答以下问题：（i）判断函数f（x）的单调性（不必证明）；（ii）若函数f（x）的最大值为34，求实数a的值．试题及答案-单选题-云返教育

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已知函数f（x）=

a^x+a-3

a^x+a

（a＞0且a≠1）．
（Ⅰ）若函数f（x）是R上的奇函数，求实数a的值；
（Ⅱ）当1≤x≤2时，请回答以下问题：
（i）判断函数f（x）的单调性（不必证明）；
（ii）若函数f（x）的最大值为

，求实数a的值．

见解析

解：（Ⅰ）因为f（x）=

a^x+a-3

a^x+a

是R上的奇函数，则f（0）=0，解得a=2，
把a=2代入，得f（x）=

2^x-1

2^x+2

，经检验满足f（x）=-f（x），
所以a=2；
（Ⅱ）（i）f（x）=

a^x+a-3

a^x+a

=1-

a^x+a

，
当a＞1时，a^x+a是增函数，f（x）=1-

a^x+a

是增函数；
当0＜a＜1时，a^x+a是减函数，f（x）=1-

a^x+a

是减函数；
（ii）由（i）知，当a＞1时，f（x）_max=f（2）=1-

a²+a

，解得a=3；
当0＜a＜1时，f（x）_max=f（1）=1-

a+a

，解得a=6，不符合舍去．
综上所述：a=3．

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