已知函数f(x)=ax+bx2+1是定义在（-1，1）上的奇函数，且f(12)=-25．（1）求函数f（x）的解析式；（2）判断f（x）的单调性，并证明你的结论；（3）解不等式f（t-1）+f（t）＜0．试题及答案-单选题-云返教育

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已知函数f(x)=

ax+b

x²+1

是定义在（-1，1）上的奇函数，且f(

)=-

．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）判断f（x）的单调性，并证明你的结论；
（3）解不等式f（t-1）+f（t）＜0．

见解析

解：（1）由奇函数的性质可得f（0）=0，
解得b=0，
∴f（x）=

x²+1

．
再根据f（

）=

，
解得a=-1，∴f（x）=

-x

x²+1

．
（2）设-1＜x₁＜x₂＜1，
∵f（x₁）-f（x₂）=

-x₁

x₁²+1

-x₂

x₂²+1

x₂(x₁²+1)-x₁(x₂²+1)

(x₁²+1)(x₂²+2)

( x₂-x₁)(1-x₁x₂)

(x₁²+1)(x₂²+1)

，
而由题设可得 x₂-x₁＞0，1-x₁x₂＞0，
∴

( x₂-x₁)(1-x₁x₂)

(x₁²+1)(x₂²+1)

＞0，
故 f（x₁）-f（x₂）＞0，
故函数f（x）在（-1，1）上是减函数．
（3）由不等式f（t-1）+f（t）＜0，
可得f（t-1）＜-f（t）=f（-t），
∴

{	-1＜t-1＜1 -1＜t＜1 t-1＞-t

，
解得

＜t＜1，
故t的范围为（

，1）．

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