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设定义域为R的函数f(x)=-2x+a2x+1+b（a，b为实数）若f（x）是奇函数．（1）求a与b的值；（2）判断函数f（x）的单调性，并证明；（3）证明对任何实数x、c都有f（x）＜c2-3c+3成立．试题及答案-单选题-云返教育

试题详情

设定义域为R的函数f(x)=

-2^x+a

2^x+1+b

（a，b为实数）若f（x）是奇函数．
（1）求a与b的值；
（2）判断函数f（x）的单调性，并证明；
（3）证明对任何实数x、c都有f（x）＜c²-3c+3成立．

试题解答

见解析

（1）解：∵f（x）是奇函数时，
∴f（-x）=-f（x），即

-2^-x+a

2^-x+1+b

-2^x+a

2^x+1+b

对任意实数x成立．
化简整理得（2a-b）?2^2x+（2ab-4）?2^x+（2a-b）=0，这是关于x的恒等式，所以

{	2a-b=0 2ab-4=0

所以

{

a=-1

b=-2

（舍）或

{

a=1

b=2

（2）解：f（x）在R上单调递减，证明如下：
由（1）知f(x)=

-2^x+1

2^x+1+2

2^x-1

2^x+1+2

2^x+1-2

2^x+1

∴f′(x)=

-2^xln2

(2^x+1)²

＜0，
∴f（x）在R上单调递减；
（3）证明：f(x)=

-2^x+1

2^x+1+2

2^x+1

，
因为2^x＞0，所以2^x+1＞1，0＜

2^x+1

＜1，从而-

＜f(x)＜

；
而c²-3c+3=(c-

)²+

≥

对任何实数c成立；
所以对任何实数x、c都有f（x）＜c²-3c+3成立．

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必修1 人教A版单选题高中数学

设定义域为R的函数f(x)=-2x+a2x+1+b（a，b为实数）若f（x）是奇函数．（1）求a与b的值；（2）判断函数f（x）的单调性，并证明；（3）证明对任何实数x、c都有f（x）＜c2-3c+3成立．试题及答案-单选题-云返教育

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集合的包含关系判断及应用;集合的表示法;集合的分类;集合的含义;集合的确定性、互异性、无序性;集合的相等;元素与集合关系的判断;子集与真子集相关试题