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  • 已知函数f（x）=ax3+bx2+cx是R上的奇函数，且f（1）=2，f（2）=10，（1）确定函数f（x）的解析式；（2）用定义证明f（x）在R上是增函数；（3）若关于x的不等式f（x2-4）+f（kx+2k）＜0在x∈（0，1）上恒成立，求k的取值范围．试题及答案-单选题-云返教育

      • 试题详情

      已知函数f（x）=ax3+bx2+cx是R上的奇函数，且f（1）=2，f（2）=10，
      （1）确定函数f（x）的解析式；
      （2）用定义证明f（x）在R上是增函数；
      （3）若关于x的不等式f（x      2-4）+f（kx+2k）＜0在x∈（0，1）上恒成立，求k的取值范围．

      试题解答

      见解析
      解：（1）∵函数f（x）是奇函数
      ∴f（-x）=-f（x）即-ax      3+bx2-cx=-ax3-bx2-cx
      ∴2bx      2=0对于任意x都成立
      即b=0
      ∵f(1)=2，f(2)=10       ∴
      {
      a+c=2
      8a+2c=10
      解得a=c=1
      ∴函数的解析式是f（x）=x      3+x 5分
      （2）证明：设x      1，x2是R上的任意两个不相等的实数，且x1＜x2，
      则△y=f（x      2）-f（x1）=x23+x2-x13-x1=（x2-x1）（x22+x1x2+x12）+（x2-x1）
      =(x      2-x1)(x
      2
      2
      +x
      1
      x2+x
      2
      1
      +1)=(x2-x1)[(x2+
      x
      1
      2
      )2+
      3x
      2
      1
      4
      +1]
      ∵x      2-x1＞0，(x2+
      x
      1
      2
      )2+
      3x
      2
      1
      4
      +1＞0∴△y＞0
      ∴函数f（x）在R上是增函数 （10分）
      （3）∵f（x      2-4）+f（kx+2k）＜0
      ∴f（x      2-4）＜-f（kx+2k）=f（-kx-2k）
      又因为f（x）是增函数，即x      2-4＜-kx-2k
      ∴x      2+kx+2k-4＜0在（0，1）上恒成立．（12分）
      法（一）令g（x）=x      2+kx+2k-4，x∈（0，1）
      则
      {
      g(0)=2k-4≤0
      g(1)=3k-3≤0
      解得k≤1
      ∴k的取值范围是（-∞，1]14分
      法（二）上式可化为k（x+2）＜4-x      2
      ∵x∈（0，1）即x+2＞0∴k＜
      4-x2
      x+2
      =2-x
      令U（x）=2-x，x∈（0，1）
      ∵U（x）=2-x在（0，1）上是减函数
      ∴U（x）＜1即k≤1．（14分）
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