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  • 已知函数f（x）=ax+b1+x2是定义在（-1，1）上的奇函数，且f(12)=25．（1）求函数f（x）的解析式；（2）证明f（x）在（-1，1）上是增函数；（3）解不等式f（t-1）+f（2t）＜0．试题及答案-单选题-云返教育

      • 试题详情

      已知函数f（x）=
      ax+b
      1+x2
      是定义在（-1，1）上的奇函数，且f(
      1
      2
      )=
      2
      5
      ．
      （1）求函数f（x）的解析式；
      （2）证明f（x）在（-1，1）上是增函数；
      （3）解不等式f（t-1）+f（2t）＜0．

      试题解答

      见解析
      解：（1）∵f（x）是（-1，1）上的奇函数，
      ∴f（0）=0，∴b=0．
      又f(
      1
      2
      )=
      2
      5
      ，
      ∴
      1
      2
      a
      1+(
      1
      2
      )2
      =
      2
      5
      ，
      ∴a=1，
      ∴f(x)=
      x
      1+x2

      （2）证明：任设x      1、x2∈（-1，1），且x1＜x2
      则f(x      1)-f(x2)=
      x1
      1+x
      2
      1
      -
      x2
      1+x
      2
      2
      =
      (x1-x2)(1-x1x2)
      (1+x
      2
      1
      )(1+x
      2
      2
      )
      ，
      ∵-1＜x      1＜x2＜1，
      ∴-1＜x      1x2＜1，
      ∴x      1-x2＜0，且1-x1x2＞0，
      又1+      x
      2
      1
      ＞0，1+x
      2
      2
      ＞0，
      ∴f（x      1）-f（x2）＜0
      即f（t-1）＜f（-t），
      ∴f（x）在（-1，1）上是增函数．
      （3）∵f（x）是奇函数，
      ∴不等式可化为f（t-1）＜-f（2t）=f（-2t）
      即 f（t-1）＜f（-2t），
      又f（x）在（-1，1）上是增函数，
      ∴有
      {
      -1＜t-1＜1
      -1＜2t＜1
      t-1＜-2t
      解之得0＜t＜
      1
      3
      ，
      ∴不等式的解集为{t|0＜t＜
      1
      3
      }．
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      必修1人教A版单选题高中数学

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