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已知函数f(x)=x2+bx+c(b,c∈R)为偶函数,如果点A(x,y)在函数f(x)的图象上,且点B(x,y2+1)在g(x)=f(x2+c)的图象上.(1)求函数f(x)的解析式;(2)设F(x)=g(x)-λf(x).是否存在实数λ,使F(x)在上为减函数,且在上为增函数?若存在,求出λ的值;若不存在,请说明理由.试题及答案-单选题-云返教育
试题详情
已知函数f(x)=x
2
+bx+c(b,c∈R)为偶函数,如果点A(x,y)在函数f(x)的图象上,且点B(x,y
2
+1)在g(x)=f(x
2
+c)的图象上.
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)设F(x)=g(x)-λf(x).是否存在实数λ,使F(x)在
上为减函数,且在
上为增函数?若存在,求出λ的值;若不存在,请说明理由.
试题解答
见解析
(1)∵f(x)=x
2
+bx+c为偶函数,故f(-x)=f(x),即有(-x)2+b(-x)+c=x
2
+bx+c,解得b=0.
由因为点A(x,y)在函数f(x)的图象上,且点B(x,y
2
+1)在g(x)=f(x
2
+c)的图象上,所以c=1,所以f(x)=x
2
+1
(2)【解析】
g(x)=f(x
2
+1)=(x
2
+1)
2
+1=x
4
+2x
2
+2.
F(x)=g(x)-λf(x)=x
4
+(2-λ)x
2
+(2-λ),F(x
1
)-F(x
2
)=(x
1
+x
2
)(x
1
-x
2
)[x
1
2
+x
2
2
+(2-λ)]
由题设当x
1
<x
2
<
时,(x
1
+x
2
)(x
1
-x
2
)>0,x
1
2
+x
2
2
+(2-λ)>
+
+2-λ=3-λ,
则3-λ≥0,λ≤3;
当
<x
1
<x
2
<0时,(x
1
+x
2
)(x
1
-x
2
)>0,x
1
2
+x
2
2
+(2-λ)>
+
+2-λ=3-λ,
则3-λ≥0,λ≥3故λ=3.
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单选题
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集合的包含关系判断及应用;集合的表示法;集合的分类;集合的含义;集合的确定性、互异性、无序性;集合的相等;元素与集合关系的判断;子集与真子集
相关试题
已知定义域为(-∞,0)∪(0,+∞)的偶函数f(x)在(0,+∞)上为增函数,且f(1)=0,则不等式x?f(x)>0的解集为 .?
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第1章 集合
1.1 集合的含义与表示
集合的表示法
集合的分类
集合的含义
集合的确定性、互异性、无序性
元素与集合关系的判断
第3章 指数函数和对数函数
3.1 正整数指数函数
正整数指数函数
第4章 函数应用
4.1 函数与方程
二分法的定义
二分法求方程的近似解
根的存在性及根的个数判断
函数的零点
函数的零点与方程根的关系
函数零点的判定定理
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