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设f(x)是定义在R上的函数,对任意m、n∈R恒有f(m+n)=f(m)+f(n),且当x>0时,f(x)<0,f(1)=-2.(1)证明:f(x)是奇函数;(2)求证:f(x)在R是减函数;(3)解不等式.试题及答案-单选题-云返教育
试题详情
设f(x)是定义在R上的函数,对任意m、n∈R恒有f(m+n)=f(m)+f(n),且当x>0时,f(x)<0,f(1)=-2.
(1)证明:f(x)是奇函数;
(2)求证:f(x)在R是减函数;
(3)解不等式
.
试题解答
见解析
(1)根据已知中对任意的x、y∈R,都有f(x+y)=f(x)+f(y),令x=y=0,易得f(0)=0,令y=-x,结合函数奇偶性的定义,即可得到结论;
(2)根据当x>0时,f(x)<0,结合(1)中结论,及函数单调性的定义可得答案.
(3)根据(1)(2)的结论及f(1)=-2,我们可将不等式
,转化为一个关于x的分式不等式,解答可得答案.
证明:(1)∵对任意的m、n∈R恒有f(m+n)=f(m)+f(n),①
令m=n=0得,f(0)=f(0)+f(0)=2f(0)(2分)
∴f(0)=0
令n=-m得,f(m-m)=f(m)+f(-m)=f(0)=0,(1分)
即f(-m)=-f(m)
即f(-x)=-f(x)
∴函数f(x)为奇函数(3分)
(2)任取x
1
,x
2
∈R,且x
1
<x
2
,则x
2
-x
1
>0,
∵f(x
1
+x
2
)=f(x
1
)+f(x
2
),
∴f(x
2
-x
1
)=f(x
2
)+f(-x
1
)=f(x
2
)-f(x
1
)=f(x
2
)-f(x
1
).
∵当x>0时,f(x)<0,
∴f(x
2
-x
1
)=f(x
2
)-f(x
1
)<0.
∴f(x
1
)>f(x
2
),
∴f(x)是R上的减函数.
(3)∵f(1)=-2
∴f(2)=f(1)+f(1)=-2-2=-4,f(3)=f(2)+f(1)=-4-2=-6,
则不等式
可化为
由(2)中f(x)是R上的减函数
∴
即
,
即
解得:x∈(0,1]∪[3,+∞)
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集合的包含关系判断及应用;集合的表示法;集合的分类;集合的含义;集合的确定性、互异性、无序性;集合的相等;元素与集合关系的判断;子集与真子集
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第1章 集合
1.1 集合的含义与表示
集合的表示法
集合的分类
集合的含义
集合的确定性、互异性、无序性
元素与集合关系的判断
第3章 指数函数和对数函数
3.1 正整数指数函数
正整数指数函数
第4章 函数应用
4.1 函数与方程
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函数的零点
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函数零点的判定定理
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