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  • 已知正四面体ABCD的各棱长为a，（1）求正四面体ABCD的表面积；（2）求正四面体ABCD外接球的半径R与内切球的体积V内．试题及答案-解答题-云返教育

      • 试题详情

      已知正四面体ABCD的各棱长为a，
      （1）求正四面体ABCD的表面积；
      （2）求正四面体ABCD外接球的半径R与内切球的体积V      内．

      试题解答

      见解析
      解：（1）∵正四面体ABCD的各棱长为a，
      ∴正四面体ABCD的表面积=4×
      √3
      4
      a2=
      √3
      a2．
      （2）将正四面体ABCD，补成正方体，则正四面体ABCD的棱为正方体的面上对角线，
      ∵正四面体ABCD的棱长为a，
      ∴正方体的棱长为
      √2
      2
      a，
      正四面体的外接球，就是以正四面体的棱为面对角线的正方体的外接球，
      球的直径就是正方体的对角线的长，所以正方体的对角线为2R，
      ∵正方体的棱长为
      √2
      2
      a，所以
      √3
      ×
      √2
      2
      a=2R，
      ∴R=
      √6
      4
      a．
      正四面体ABCD外接球与内切球的两球球心重合，设为O．
      设DO的延长线与底面ABC的交点为E，则DE为正四面体的高，DE⊥底面ABC，
      且DO=R，OE=r，OE=正四面体PABC内切球的半径．
      设正四面体ABCD底面面积为S．
      将球心O与四面体的4个顶点全部连接，
      可以得到4个全等的正三棱锥，球心为顶点，以正四面体面为底面．
      每个正三棱锥体积V      1=
      1
      3
      ?S?r 而正四面体体积V2=
      1
      3
      ?S?（R+r）
      从而有，4?V      1=V2，
      所以，4?
      1
      3
      ?S?r=
      1
      3
      ?S?（R+r），
      所以，
      r
      R
      =
      1
      3
      ．
      ∴正四面体内切球的半径r=
      1
      3
      ×
      √6
      4
      a=
      √6
      12
      a．
      ∴内切球的体积V      内=
      4
      3
      πr3=
      4
      3
      π×(
      √6
      12
      )3a3=
      √6
      216
      πa3．
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      必修3湘教版解答题高中数学

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