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  • 已知椭圆x2a2+y2b2=1，（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，离心率e=√22，以原点为圆心，椭圆短半轴长为半径的圆与直线y=x+√2相切．（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）过点F1的直线l与该椭圆交于M、N两点，且|F2M+F2N|=2√263，求直线l的方程．试题及答案-解答题-云返教育

      • 试题详情

      已知椭圆
      x2
      a2
      +
      y2
      b2
      =1，（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，离心率e=
      √2
      2
      ，以原点为圆心，椭圆短半轴长为半径的圆与直线y=x+
      √2
      相切．
      （Ⅰ）求椭圆的标准方程；
      （Ⅱ）过点F      1的直线l与该椭圆交于M、N两点，且|F2M+F2N|=
      2
      √26
      3
      ，求直线l的方程．

      试题解答

      见解析
      解：（1）因为以原点为圆心，椭圆短半轴长为半径的圆与直线y=x+
      √2
      相切，
      所以圆心到直线的距离：
      |0-0+
      √2
      |
      √12+(-1)2
      =b，解得b=1，又离心率e=
      √2
      2
      =
      c
      a
      ，
      平方可得：
      c2
      a2
      =
      1
      2
      ，即
      a2-1
      a2
      =
      1
      2
      ，解得a2=2，
      故所求椭圆的标准方程为：
      x2
      2
      +y2=1
      （2）由（1）可知：F      1（-1，0），F2（1，0），
      若直线l的斜率不存在时，则直线l的方程为x=-1，将x=-1代入椭圆方程可得y=±
      √2
      2
      ，
      不妨设M（-1，
      √2
      2
      ），N（-1，-
      √2
      2
      ），∴
      F2M
      +
      F2N
      =（-2，
      √2
      2
      ）+（-2，-
      √2
      2
      ）=（-4，0）
      ∴|      F2M+F2N|=4，与题设矛盾，∴直线l的斜率存在．
      设其方程为：y=k（x+1），M（x      1，y1），N（x2，y2）
      联立方程
      {
      x2
      2
      +y2=1
      y=k(x+1)
      ，消y并整理得，（2k2+1）x2+4k2x+2k2-2=0，
      显然有△＞0，由韦达定理可得x      1+x2=-
      4k2
      2k2+1
      ，x1+x2-2=
      -8k2-2
      2k2+1
      ，
      所以y      1+y2=k（x1+1）+k（x2+1）=k（x1+x2+2）=
      2k
      2k2+1
      ，
      又因为|      F2M+F2N|=
      2
      √26
      3
      ，所以(x1+x2-2)2+(y1+y2)2=
      4×26
      9
      ，
      即(
      -8k2-2
      2k2+1
      )2+(
      2k
      2k2+1
      )2=
      4×26
      9
      ，即40k4-23k2-17=0，
      解得k      2=1，（负值舍去）∴k=±1
      ∴所求直线l的方程为x-y+1=0或x+y+1=0．
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