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  • 设F1，F2分别是椭圆C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的左右焦点，若椭圆C上的一点A（1，32）到F1，F2的距离之和为4．（1）求椭圆方程；（2）若M，N是椭圆C上两个不同的点，线段MN的垂直平分线与x轴交于点P，求证：|OP|＜12；（3）若M，N是椭圆C上两个不同的点，Q是椭圆C上不同于M，N的任意一点，若直线QM，QN的斜率分别为KQM?KQN．问：“点M，N关于原点对称”是KQM?KQN=-34的什么条件？证明你的结论．试题及答案-解答题-云返教育

      • 试题详情

      设F1，F2分别是椭圆C：
      x2
      a2
      +
      y2
      b2
      =1（a＞b＞0）的左右焦点，若椭圆C上的一点A（1，
      3
      2
      ）到F1，F2的距离之和为4．
      （1）求椭圆方程；
      （2）若M，N是椭圆C上两个不同的点，线段MN的垂直平分线与x轴交于点P，求证：|
      OP
      |＜
      1
      2
      ；
      （3）若M，N是椭圆C上两个不同的点，Q是椭圆C上不同于M，N的任意一点，若直线QM，QN的斜率分别为K      QM?KQN．问：“点M，N关于原点对称”是KQM?KQN=-
      3
      4
      的什么条件？证明你的结论．

      试题解答

      见解析
      解：（1）由题意可得
      {
      1
      a2
      +
      9
      4b2
      =1
      2a=4
      ，解得a=2，b2=3．
      ∴椭圆方程为
      x2
      4
      +
      y2
      3
      =1；
      （2）设M（x      1，y1），N（x2，y2），P（x0，0），
      则|PM|=|PN|，∴(x      1-x0)2+y
      2
      1
      =(x2-y2)2+y
      2
      2
      ．（*）
      又M，N在椭圆上，∴      y
      2
      1
      =3-
      3
      4
      x
      2
      1
      ，y
      2
      2
      =3-
      3
      4
      x
      2
      2
      ；
      代入（*）得      x0=
      x1+x2
      8
      ＜
      2+2
      8
      =
      1
      2
      ，则有|
      OP
      |＜
      1
      2
      ．
      （3）“点M，N关于原点对称”是K      QM?KQN=-
      3
      4
      ???充要条件．
      证明：设M（x      1，y1），Q（x0，y0），则N（-x1，-y1）．
      于是
      x
      2
      1
      4
      +
      y
      2
      1
      3
      =1，
      x
      2
      0
      4
      +
      y
      2
      0
      3
      =1，得到
      y
      2
      1
      -y
      2
      0
      x
      2
      1
      -x
      2
      0
      =-
      3
      4
      ．
      ∴      kQM?kQN=
      y1-y0
      x1-x0
      ?
      -y1-y0
      -x1-x0
      =
      y
      2
      1
      -y
      2
      0
      x
      2
      1
      -x
      2
      0
      =-
      3
      4
      ?点M，N关于原点对称．
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