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  • （2014秋?金水区校级期中）在锐角△ABC中，a、b、c分别为∠A、∠B、∠C所对的边，且√3a=2csinA．（1）确定∠C的大小；（2）若c=√3，求△ABC周长的取值范围．试题及答案-解答题-云返教育

      • 试题详情

      （2014秋?金水区校级期中）在锐角△ABC中，a、b、c分别为∠A、∠B、∠C所对的边，且
      √3
      a=2csinA．
      （1）确定∠C的大小；
      （2）若c=
      √3
      ，求△ABC周长的取值范围．

      试题解答

      见解析
      【解答】解：（1）由
      √3
      a=2csinA变形得：
      a
      c
      =
      2sinA
      √3
      ，
      又正弦定理得：
      a
      c
      =
      sinA
      sinC
      ，
      ∴
      2sinA
      √3
      =
      sinA
      sinC
      ，
      ∵sinA≠0，∴sinC=
      √3
      2
      ，
      ∵△ABC是锐角三角形，
      ∴∠C=
      π
      3
      ；
      （2）∵c=
      √3
      ，sinC=
      √3
      2
      ，
      ∴由正弦定理得：
      a
      sinA
      =
      b
      sinB
      =
      c
      sinC
      =
      √3
      √3
      2
      =2，
      即a=2sinA，b=2sinB，又A+B=π-C=
      2π
      3
      ，即B=
      2π
      3
      -A，
      ∴a+b+c=2（sinA+sinB）+
      √3

      =2[sinA+sin（
      2π
      3
      -A）]+
      √3

      =2（sinA+sin
      2π
      3
      cosA-cos
      2π
      3
      sinA）+
      √3

      =3sinA+
      √3
      cosA+
      √3

      =2
      √3
      （sinAcos
      π
      6
      +cosAsin
      π
      6
      ）+
      √3

      =2
      √3
      sin（A+
      π
      6
      ）+
      √3
      ，
      ∵△ABC是锐角三角形，
      ∴
      π
      6
      ＜∠A＜
      π
      2
      ，
      ∴
      √3
      2
      ＜sin（A+
      π
      6
      ）≤1，
      则△ABC周长的取值范围是（3+
      √3
      ，3
      √3
      ]．
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