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  • 设△ABC的外心为O，以线段OA、OB为邻边作平行四边形，第四个顶点为D，再以OC、OD为邻边作平行四边形，它的第四个顶点为H．（1）若OA=a，OB=b，OC=c，用a、b、c表示OH；（2）求证：AH⊥BC；（3）设△ABC中，∠A=60°，∠B=45°，外接圆半径为R，用R表示|OH|．（外心是三角形外接圆的圆心）试题及答案-解答题-云返教育

      • 试题详情

      设△ABC的外心为O，以线段OA、OB为邻边作平行四边形，第四个顶点为D，再以OC、OD为邻边作平行四边形，它的第四个顶点为H．
      （1）若
      OA
      =
      a
      ，
      OB
      =
      b
      ，
      OC
      =
      c
      ，用
      a
      、
      b
      、
      c
      表示
      OH
      ；
      （2）求证：AH⊥BC；
      （3）设△ABC中，∠A=60°，∠B=45°，外接圆半径为R，用R表示
      |OH|
      ．（外心是三角形外接圆的圆心）

      试题解答

      见解析
      解：（1）由三角形法则可得
      OH
      =
      OC
      +
      OD
      =
      OC
      +(
      OA
      +
      OB
      )=
      a
      +
      b
      +
      c
      ；
      （2）∵
      AH
      =
      AO
      +
      OH
      =-
      a
      +(
      a
      +
      b
      +
      c
      )=
      b
      +
      c
      ，
      BC
      =
      OC
      -
      OB
      =
      c
      -
      b
      ，
      ∴
      AH
      ?
      BC
      =(
      c
      +
      b
      )?(
      c
      -
      b
      )=
      c
      2-
      b
      2，
      ∵O点是△ABC的外心，∴|
      c
      |=|
      b
      |，
      ∴
      AH
      ?
      BC
      =0，
      ∴
      AH
      ⊥
      BC
      ．即AH⊥BC
      （3）|
      OH
      |2=(
      a
      +
      b
      +
      c
      )2=
      a
      2+
      b
      2+
      c
      2+2
      a
      ?
      b
      +2
      b
      ?
      c
      +2
      a
      ?
      c

      =3R      2+2R2(cos＜
      a
      ，
      b
      ＞+cos＜
      b
      ，
      c
      ＞+cos＜
      a
      ，
      c
      ＞)，
      ∵A=60°，点O是外心，∴＜
      b
      ，
      c
      ＞=120°，∴cos＜
      b
      ，
      c
      ＞=-
      1
      2
      ；
      同理cos＜
      a
      ，
      c
      ＞=0，cos＜
      a
      ，
      b
      ＞=-
      √3
      2
      ．
      ∴|
      OH
      |2=(2-
      √3
      )R2．
      ∴|
      OH
      |=
      √2-
      √3
      R=
      √
      8-2
      √12
      4
      R=
      √6
      -
      √2
      2
      R．
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