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  • 已知a，b，c是正数，a1=lga，a2=lgb，a3=lgc．（Ⅰ）若a，b，c成等差数列，比较a1-a2与a2-a3的大小；（Ⅱ）若a1-a2＞a2-a3＞a3-a1，则a，b，c三个数中，哪个数最大，请说明理由；（Ⅲ）若a=t，b=t2，c=t3（t∈N*），且a1，a2，a3的整数部分分别是m，m2+1，2m2+1，求所有t的值．试题及答案-解答题-云返教育

      • 试题详情

      已知a，b，c是正数，a1=lga，a2=lgb，a3=lgc．
      （Ⅰ）若a，b，c成等差数列，比较a      1-a2与a2-a3的大小；
      （Ⅱ）若a      1-a2＞a2-a3＞a3-a1，则a，b，c三个数中，哪个数最大，请说明理由；
      （Ⅲ）若a=t，b=t      2，c=t3（t∈N*），且a1，a2，a3的整数部分分别是m，m2+1，2m2+1，求所有t的值．

      试题解答

      见解析
      解：（Ⅰ）由已知得（a1-a2）-（a2-a3）=lg
      a
      b
      -lg
      b
      c
      =lg
      ac
      b2
      ．
      ∵a，b，c成等差数列，
      ∴b=
      a+c
      2
      ，
      则（a      1-a2）-（a2-a3）=lg
      4ac
      (a+c)2
      ，
      ∵a      2+c2≥2ac，
      ∴（a+c）      2≥4ac，
      即
      4ac
      (a+c)2
      ≤1，
      则（a      1-a2）-（a2-a3）≤0，
      即a      1-a2≤a2-a3，当且仅当a=b=c时等号成立；
      （Ⅱ）令m=a      1-a2，n=a2-a3，p=a3-a1，
      依题意，m＞n＞p且m+n+p=0，所以m＞0＞p．
      故a      1-a2＞0，
      即lga＞lgb；且a      1-a3＞0，
      即lga＞lgc．
      ∴a＞b且a＞c．
      故a，b，c三个数中，a最大．
      （Ⅲ）依题意，lgt，lgt      2，lgt3的整数部分分别是m，m2+1，2m2+1，则m≤lgt＜m+1，
      ∴2m≤2lgt＜2m+2．
      又lgt      2=2lgt，则lgt2的整数部分是2m或2m+1．
      当m      2+1=2m时，m=1；
      当m      2+1=2m+1时，m=0，2．
      （1）当m=0时，lgt，lgt      2，lgt3的整数部分分别是0，1，1，
      ∴0≤lgt＜1，1≤lgt      2＜2，1≤lgt3＜2．∴
      1
      2
      ≤lgt＜
      2
      3
      ，
      解得10
      1
      2
      ≤t＜10
      2
      3
      ．
      又∵10
      1
      2
      ∈(3，4)，10
      2
      3
      ∈(4，5)，
      ∴此时t=4．
      （2）当m=1时，同理可得1≤lgt＜2，2≤lgt      2＜3，3≤lgt3＜4．
      ∴1≤lgt＜
      4
      3
      ，解得10≤t＜10
      4
      3
      ．
      又∵10
      4
      3
      ∈(21，22)，此时t=10，11，12，…20，21．
      （3）当m=2时，
      同理可得2≤lgt＜3，5≤lgt      2＜6，9≤lgt3＜10，
      同时满足条件的t不存在．
      综上所述，t=4，10，11，12，…20，21．
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