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  • （2011?肇庆一模）将数列{an}中的所有项按每一行比上一行多一项的规则排成如下表：记表中的第一列数a1，a2，a4，a7，…，构成的数列为{bn}，b1=a1=1，Sn为数列{bn}的前n项和，且满足2bnbnSn-S2n=1(n≥2)．（1）求证数列{1Sn}成等差数列，并求数列{bn}的通项公式；（2）上表中，若a81项所在行的数按从左到右的顺序构成等比数列，且公比q为正数，求当a81=-491时，公比q的值．试题及答案-解答题-云返教育

      • 试题详情

      （2011?肇庆一模）将数列{an}中的所有项按每一行比上一行多一项的规则排成如下表：
      记表中的第一列数a      1，a2，a4，a7，…，构成的数列为{bn}，b1=a1=1，Sn为数列{bn}的前n项和，且满足
      2bn
      bnSn-S
      2
      n
      =1(n≥2)．
      （1）求证数列{
      1
      Sn
      }成等差数列，并求数列{bn}的通项公式；
      （2）上表中，若a      81项所在行的数按从左到右的顺序构成等比数列，且公比q为正数，求当a81=-
      4
      91
      时，公比q的值．

      试题解答

      见解析
      解：（1）由已知，当n≥2时，
      2bn
      bnSn-S
      2
      n
      =1，又bn=Sn-Sn-1，（1分）
      所以
      2(Sn-Sn-1)
      (Sn-Sn-1)Sn-S
      2
      n
      =1．（2分）
      即
      2(Sn-Sn-1)
      -Sn-1Sn
      =1，所以
      1
      Sn
      -
      1
      Sn-1
      =
      1
      2
      ，（4分）
      又S      1=b1=a1=1，所以数列{
      1
      Sn
      }是首项为1，公差为
      1
      2
      的等差数列．（5分）
      所以
      1
      Sn
      =
      1
      S1
      +
      1
      2
      (n-1)=
      n+1
      2
      ，即Sn=
      2
      n+1
      ．（7分）
      所以，当n≥2时，      bn=Sn-Sn-1=
      2
      n+1
      -
      2
      n-1+1
      =-
      2
      n(n+1)
      ，（9分）
      因此      bn=
      {
      1(n=1)
      -
      2
      n(n+1)
      (n≥2).
      （10分）
      （2）因为1+2+3+…+12=
      12×13
      2
      =78，
      所以表中第1行至第12行共含有数列{a      n}的前78项，故a81在表中第13行第三列．（12分）
      所以，      a81=b13q2=-
      4
      91
      ，（13分）
      又      b13=-
      2
      13×14
      ，所以q=2．（14分）
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