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  • 设数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=4an-p，其中p是不为零的常数．（1）证明：数列{an}是等比数列；（2）当p=3时，若数列{bn}满足bn+1=bn+an（n∈N*），b1=2，求数列{bn}的通项公式．试题及答案-解答题-云返教育

      • 试题详情

      设数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=4an-p，其中p是不为零的常数．
      （1）证明：数列{a      n}是等比数列；
      （2）当p=3时，若数列{b      n}满足bn+1=bn+an（n∈N*），b1=2，求数列{bn}的通项公式．

      试题解答

      见解析
      证明：（1）证：因为Sn=4an-p（n∈N*），则Sn-1=4an-1-p（n∈N*，n≥2），
      所以当n≥2时，a      n=Sn-Sn-1=4an-4an-1，整理得an=
      4
      3
      an-1．（5分）
      由S      n=4an-p，令n=1，得a1=4a1-p，解得a1=
      p
      3
      ．
      所以a      n是首项为
      p
      3
      ，公比为
      4
      3
      的等比数列．（7分）
      （2）解：因为a      1=1，则an=(
      4
      3
      )n-1，
      由b      n+1=an+bn（n=1，2，），得bn+1-bn=(
      4
      3
      )n-1，（9分）
      当n≥2时，由累加得b      n=b1+（b2-b′1）+（b3-b2）+…+（bn-bn-1）=2+
      1-(
      4
      3
      )n-1
      1-
      4
      3
      =3(
      4
      3
      )n-1-1，
      当n=1时，上式也成立．（14分）
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