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  • 设等差数列{an}满足：sin2a3-cos2a3+cos2a3cos2a6-sin2a3sin2a6sin(a4+a5)=1，公差d∈（-1，0）．若当且仅当n=9时，数列{an}的前n项和Sn取得最大值，则首项a1取值范围是（ ）试题及答案-单选题-云返教育

      • 试题详情

      设等差数列{an}满足：
      sin2a3-cos2a3+cos2a3cos2a6-sin2a3sin2a6
      sin(a4+a5)
      =1，公差d∈（-1，0）．若当且仅当n=9时，数列{an}的前n项和Sn取得最大值，则首项a1取值范围是（　　）

      试题解答

      B
      解：由
      sin2a3-cos2a3+cos2a3cos2a6-sin2a3sin2a6
      sin(a4+a5)
      =1，
      得：
      -cos2a3+(cosa3cosa6-sina3sina6)(cosa3cosa6+sina3sina6)
      sin(a4+a5)
      =1，
      即
      -cos2a3+cos(a3+a6)cos(a3-a6)
      sin(a4+a5)
      =1，
      由积化和差公式得：
      1
      2
      cos2a3+
      1
      2
      cos2a6-cos2a3
      sin(a4+a5)
      =1，
      整理得：
      1
      2
      (cos2a6-cos2a3)
      sin(a4+a5)
      =
      1
      2
      (-2)sin(a6+a3)sin(a6-a3)
      sin(a4+a5)
      =1，
      ∴sin（3d）=-1．
      ∵d∈（-1，0），∴3d∈（-3，0），
      则3d=-
      π
      2
      ，d=-
      π
      6
      ．
      由      Sn=na1+
      n(n-1)d
      2
      =na1+
      n(n-1)?(-
      π
      6
      )
      2
      =-
      π
      12
      n2+(a1+
      π
      12
      )n．
      对称轴方程为n=
      6
      π
      (a1+
      π
      12
      )，
      由题意当且仅当n=9时，数列{a      n}的前n项和Sn取得最大值，
      ∴
      17
      2
      ＜
      6
      π
      (a1+
      π
      12
      )＜
      19
      2
      ，解得：
      4π
      3
      ＜a1＜
      3π
      2
      ．
      ∴首项a      1的取值范围是(
      4π
      3
      ，
      3π
      2
      )．
      故选：B．
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