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设等差数列{an}的前n项和为Sn,且a5+a13=34,S3=9.数列{bn}的前n项和为Tn,满足Tn=1-bn.(1)求数列{an}的通项公式;(2)写出一个正整数m,使得1am+9是数列{bn}的项;(3)设数列{cn}的通项公式为cn=anan+t,问:是否存在正整数t和k(k≥3),使得c1,c2,ck成等差数列?若存在,请求出所有符合条件的有序整数对(t,k);若不存在,请说明理由.试题及答案-解答题-云返教育
试题详情
设等差数列{a
n
}的前n项和为S
n
,且a
5
+a
13
=34,S
3
=9.数列{b
n
}的前n项和为T
n
,满足T
n
=1-b
n
.
(1)求数列{a
n
}的通项公式;
(2)写出一个正整数m,使得
1
a
m
+9
是数列{b
n
}的项;
(3)设数列{c
n
}的通项公式为
c
n
=
a
n
a
n
+t
,问:是否存在正整数t和k(k≥3),使得c
1
,c
2
,c
k
成等差数列?若存在,请求出所有符合条件的有序整数对(t,k);若不存在,请说明理由.
试题解答
见解析
解:(1)设数列{a
n
}的首项为a
1
,公差为d,由已知,有
{
2a
1
+16d=34
3a
1
+3d=9
,…(2分)
解得a
1
=1,d=2,…(3分)
所以{a
n
}的通项公式为a
n
=2n-1(n∈N
*
).…(4分)
(2)当n=1时,b
1
=T
1
=1-b
1
,所以
b
1
=
1
2
.…(1分)
由T
n
=1-b
n
,得T
n+1
=1-b
n+1
,两式相减,得b
n+1
=b
n
-b
n+1
,
故
b
n+1
=
1
2
b
n
,…(2分)
所以,{b
n
}是首项为
1
2
,公比为
1
2
的等比数列,所以
b
n
=(
1
2
)
n
.…(3分)
1
a
m
+9
=
1
2m+8
=
1
2(m+4)
,…(4分)
要使
1
a
m
+9
是{b
n
}中的项,只要m+4=2
n
即可,可取m=4.…(6分)
(3)由(1)知,
c
n
=
2n-1
2n-1+t
,…(1分)
要使c
1
,c
2
,c
k
成等差数列,必须2c
2
=c
1
+c
k
,即
6
3+t
=
1
1+t
+
2k-1
2k-1+t
,…(2分)
化简得k=3+
4
t-1
.…(3分)
因为k与t都是正整数,所以t只能取2,3,5.…(4分)
当t=2时,k=7;当t=3时,k=5;当t=5时,k=4.…(5分)
综上可知,存在符合条件的正整数t和k,所有符合条件的有序整数对(t,k)为:(2,7),(3,5),(5,4).…(6分)
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等差数列的通项公式
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